随笔分类 - 自主招生
自主招生，高考压轴题，浙江省数学竞赛或高中数学联赛一试相应难度的竞赛题.
摘要：评：最后用到了中间的截面三角形两边之和大于第三边。能不能构成三棱锥时考虑压扁的“降维”打击是常见的方式。
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摘要：评：b+c,bc好比向量里的一组基底，可以将关于b,c的对称式表示出来.
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摘要：代数上可以这么解答：不妨设$x\le y$1)若$y-x\le\frac{1}{2},则|f(x)-f(y)|\frac{1}{2},则|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(1)-f(y)|<\frac{1}{2}|x-0|+\frac{1}{2}|1-y|=\frac{1}{2}(1+x-y)<\frac{1}{4}$综上:$k\ge\frac{1}{4}$
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摘要：评:此类方程是超越方程,一般情况下无法解出具体的解,常见手段:1.画图 2.猜根.此处可以取特殊值a=2.5,b=3.5,容易知道此时$x=2.5\in(2,3)$
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摘要：解答：如图设C到$\alpha$面的距离为$d_1,C_1$到虚线距离为$d_2$ 所求距离$d=d_1+d_2=|AC|sin\theta+|CC_1|cos\theta=4\sqrt{2}sin\theta+4cos\theta$ 易得当$\theta=30^o$时候取得最大值$2(\sqrt{
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摘要：评：线面角最小，在此类最值中经常用到，作为选择填空可以投机.
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摘要：分析：利用内外圆知识知道,B,C两点到 AD 的距离$\le4$. 利用体积公式$V=\frac{1}{3}S_{截面}|AD|\le2\sqrt{15}$
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摘要：解答：$\because(\frac{\sqrt{5}}{2}x^2+\frac{1}{2\sqrt{5}}y^2)+(\frac{2}{\sqrt{5}}y^2+\frac{\sqrt{5}}{2}z^2)\ge xy+2yz\therefore $最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$
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摘要：已知$x,y,z>0$,则$max\{2x,\frac{1}{y},y+\frac{1}{x}\}$的最小值______ 分析:首先关注到$2x=\frac{1}{y}=y+\frac{1}{x}$时$x=\frac{\sqrt{3}}{2},y=\frac{\sqrt{3}}{3}$.容易得到如下
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摘要：分析：$t(n)=n-[\frac{n}{2}]-[\frac{n}{3}]-[\frac{n}{6}]$的周期为6，故 $\sum\limits_{n=1}^{2014}(n-t(n))=\sum\limits_{n=1}^{2014}n-2014=2027091$评:在证明著名的埃尔米特恒等式：$\sum\limits_{k=0}^{n-1}[x+\frac{k}{n}]=...
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摘要：评：如果直接找$a_n$的二阶递推式:$a_{n+2}-2\sqrt{2}a_{n+1}-a_n=0$有根号，不利于估计尾数。
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摘要：解答: $x^3+y^3+1-3xy=(x+y+1)(x^2+y^2+1+xy-x-y)=$ $(x+y+1)(x^2+y^2+1+xy-x-y)=$ $\frac{1}{2}(x+y+1)[(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2]\therefore x=y=1$
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摘要：先拿MT【100】的图表镇楼。 举几个例子： 【1】52张纸牌分发给4人，每人13张，问每人手中有一张小2的概率? 分析：第一步每人分一张小2，有4!种，然后48张牌平均分成4组有$\frac{48!}{12!12!12!12!}$易得概率为$4!\frac{48!(13!)^4}{52!(12!)
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摘要：注意：此讲适合联赛一试学生，以及参加清华北大等名校的自主招生的学生. 经典计数之分配问题:把n个球放进k个盒子。考虑分配方法有三类:1.无限制 2.每个盒子至多一个（f 单的）3.每个盒子至少一个（f 满的）.球和盒子都只考虑两种极端情况：全同或全不同。这样一共会有3*2*2=12种分配情况,如下:证明：1.略 2.此时只考虑$k\ge n$这种有意义情况，由分步计数原理...
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摘要：为表示尊敬先展示参考答案：参考答案其实很好的体现了当年出题人陶平生的想法，就是利用已知形式联想到三角里的射影定理，从而写出余弦定理形式，利用三角解题，如下：这里展示以下几年前做这题时我的解法：$\sum{\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2+2bc(b^2+c^2-a^2)}}$$\ge\sum{\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2+(b^2+c^2...
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摘要：评：这是一道浙江省省赛题，这里利用对称性，设$x\le y\le z$从而解决了问题。值得注意的是此处三元轮换对称正好也是完全对称，但如果变成一般的$n\ge4$元对称问题时，就不能设大小关系。事实上有如下难题：解答：
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