随笔分类 - 自主招生
自主招生，高考压轴题，浙江省数学竞赛或高中数学联赛一试相应难度的竞赛题.
摘要：已知椭圆焦点为$F_1(-1,0),F_2(1,0)$,且椭圆与直线$y=x-\sqrt{3}$相切,求
(1)椭圆的方程
(2)过$F_1$作两条相互垂直的直线$l_1,l_2$与椭圆相交于$P,Q,M,N$,求四边形$PNQM$的面积的最大值和最小值.
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摘要：一次会议有1990位数学家参加，每人至少有过1327位合作者，求证:可以找到4位数学家，他们中每一个都合作过.
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摘要：（2018全国联赛解答最后一题）在平面直角坐标系$xOy$中，设$AB$是抛物线$y^2=4x$的过点$F(1,0)$的弦，$\Delta{AOB}$的外接圆交抛物线于点$P$（不同于点$A,O,B$），若$PF$平分$\angle{APB}$，求$PF|$所有可能值。
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摘要：设正数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=47$,求$(a^2+5)(b^2+5)(c^2+5)$的最小值_____
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摘要：设$S=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}[\dfrac{116+3^{k-1}}{3^k}]\\
T=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}[\dfrac{116+23^{k-1}}{3^k}]\\$
则S+T=_____
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摘要：已知$a,b\in R^+,a+b=2$且对任意的$x\in R$,均有
$|2x^2+ax-b|\ge|x^2+cx+d|$则$\dfrac{d-4c}{cd}$的最小值______
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摘要：已知方程$x^3-x^2-x+1=0$,的三根根为$a,b,c$,
若$k_n=\dfrac{a^n-b^n}{a-b}+\dfrac{b^n-c^n}{b-c}+\dfrac{c^n-a^n}{c-a}$
证明:$\{k_n\}$为整数数列。
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摘要：函数$f(x)=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\cdots+\dfrac{x+2018}{x+2019}$ 的图像的对称中心_____
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摘要：(联赛一试2006,14)．将2006表示成5个正整数$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$之和．记$S=\sum\limits_{1\le {i}<{j}\le5}{x_ix_j}$问：
(1) 当$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$取何值时，S取到最大值；
(2) 进一步地，对任意$1\le i,j\le 5$有$|x_i-x_j|\le 2,$当$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$取何值
时,S取到最小值. 说明理由．
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摘要：已知$-6\le x_i\le 10 (i=1,2,\cdots,10),\sum\limits_{i=1}^{10}x_i=50,$当$\sum\limits_{i=1}^{10}x^2_i=50$取到最大值时,在$x_1,\cdots ,x_{10}$这十个数中等于$-6$的数共有______
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摘要：甲乙两人参加竞选，结果甲得n票，乙得m票(n > m) . 则在唱票过程中，甲的累计票数始终超过乙的累计票数的概率是_____________．
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摘要：(2018武汉大学自招)设$x,y,z\ge0,xy+yz+zx=1$证明:$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge \dfrac{5}{2}$
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摘要：(2018中科大自招)
设$S=\{1,2,3,4,5\}$则满足$f(f(x))=x$的映射:$S \longrightarrow S$的个数____
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摘要：(2018中科大自招最后一题)
设$a_1=1,a_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^3(n+a_n)$证明:
(1)$a_n=n^3\left(1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k^2}\right);
(2)\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\dfrac{k}{a_k}\right)<3$
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摘要：已知$f(x)=ax^2+bx-\dfrac{1}{4}$,若存在$a,b\in R$,使得对于任意的$x\in[0,7],|f(x)|\le2$恒成立,求$|a|$的最大值____
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摘要：(2016年清华大学自主招生暨领军计划试题)
已知$x,y,z\in \mathbf{R}$，满足$x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=1$，则下列结论正确的有（ ）
A．$xyz$的最大值为$0$
B．$xyz$的最小值为$-\dfrac{4}{27}$
C．$z$的最大值为$\dfrac{2}{3}$
D．$z$的最小值为$-\dfrac{1}{3}$
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摘要：(2007浙江省赛B卷最后一题)设$\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}=1,x_i>0,$求证:$n\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2}-\sum\limits_{j>i}{\dfrac{(x_i-x_j)^2}{x_i+x_j}}\le1$
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摘要：(原题为浙江名校新高考研究联盟2018届第三次联考选择压轴题)
在平面$\alpha$内，已知$AB\perp BC$,过直线$AB,BC$分别作平面$\beta,\gamma$，使得锐二面角$\alpha-AB-\beta$为$\dfrac{\pi}{3}$，锐二面角$\alpha-BC-\gamma$为$\dfrac{\pi}{3}$，则平面$\beta$和平面$\gamma$所成的锐二面角的余弦值为____
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摘要：(2018浙江新高考联盟2018第三次联考填空压轴题)
已知$f(x)=x^2+x-2$,若函数$g(x)=|f(x)|-f(x)-2mx-2m^2$有三个不同的零点,则实数$m$的取值范围是______.
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