随笔分类 - 自主招生
自主招生，高考压轴题，浙江省数学竞赛或高中数学联赛一试相应难度的竞赛题.
摘要：已知$a,b>0$证明:$\dfrac{1}{a+2b}+\dfrac{1}{a+4b}+\dfrac{1}{a+6b}<\dfrac{3}{\sqrt{(a+b)(a+7b)}}$
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摘要：已知$x^2+y^2+z^2=1$求$3xy-3yz+z^2$的最大值______
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摘要：设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$，方程$f(x)=x$的两根$x_1,x_2$满足$x_1,x_2\in(0,\dfrac{1}{a})$且$x_2>x_1$,
(Ⅰ)当$x\in(0, x_1)$时，求证：$ f(x)\in(x,x_1)$;
(Ⅱ)设函数$f(x)$的图象关于$x=x_0$对称,求证:$x_0<\dfrac{x_1}{2}$
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摘要：已知数列$\{a_n\}$满足:$a_1=1,a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n(n+1)}$
1)证明:对任意$n\in N^+,a_n<5$
2)证明:不存在$M\le4$,使得对任意n,$M>a_n$
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摘要：(2015浙江重点中学协作体一模) 设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动．那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共_______种．
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摘要：(2018浙江省赛12题改编)
设$a\in R$,且对任意的实数$b$均有$\max\limits_{x\in[0,1]}|x^2+ax+b|\ge\dfrac{1}{4}$求$a$ 的范围.
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摘要：（北大优特测试第9题）
已知实数 \(a_i\)（\(i=1,2,3,4,5\)）满足 \((a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_4)^2+(a_4-a_5)^2=1\)，则 \(a_1-2a_2-a_3+2a_5\) 的最大值是_______
A．\(2\sqrt 2\)
B．\(2\sqrt 5\)
C．\(\sqrt 5\)
D．\(\sqrt{10}\)
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摘要：如图，在平面直角坐标系中，$P(6,8)$，四边形$ABCD$为矩形，$AB=16$，$AD=9$，点$A,B$分别在射线$OP$和$Ox$上，求$OD$的最大值_______
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摘要：(2017北大优特测试第八题)
数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}\)，若 \(a_{2017}\in (k,k+1)\)，其中 \(k\in\mathbb N^{\ast} \)，则 \( k\) 的值是______
A．\(63\)
B．\(64\)
C．\(65\)
D．\(66\)
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试25）
若$N$的三个子集$A,B,C$满足$|A\cap B|=|B\cap C|=|C\cap A|=1$，且$A\cap B\cap C=\varnothing$，则称$(A,B,C)$为$N$ 的“有序子集列”．现有$N=\{1,2,3,4,5,6\}$，则$N$有（ ）个有序子集列．
A.$540$
B.$1280$
C.$3240$
D.$7680$
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摘要：(2017年清华大学 THUSSAT)
把不超过实数 $x$ 最大整数记为 $[x]$，任取互质且不小于 3 的正奇数 $m,n$，令
$$I=\sum_{i=1}^{\frac{m-1}{2}}\left[\frac{ni}{m}\right]+
\sum_{j=1}^{\frac{n-1}{2}}\left[\frac{mi}{n}\right],$$
则( )
A.$I<\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
B.$I>\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
C.$I\leq\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
D.$I\geq\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
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摘要：已知数列$\{a_n\}$满足:$a_n>0,a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2,n\in N^*$.
求证:
已知数列$\{a_n\}$满足:$a_n>0,a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2,n\in N^*$.
求证:$a_n>1 (n\in N^*)$
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摘要：求证:方程$3ax^2+2bx-(a+b)=0(b\ne0)$在$(0,1)$内至少有一个实数根.
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摘要：若函数$f(x)=x^2+ax+b$有两个不等实数根$x_1,x_2$,且$x_1,x_2\in(1,3)$,且$x_1\ne x_2$那么$f(1),f(3)中$ ( )
A.只有一个小于1
B.至少一个小于1
C.都小于1
D.都大于1
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摘要：设无穷非负数列$\{a_n\}$满足$a_n+a_{n+2}\ge2 a_{n+1},\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}\le1$,证明:
$0\le a_n-a_{n+1}\le\dfrac{2}{n(n+1)}$
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试24)
已知数列$\{a_n\}$，其中$a_1=a$，$a_2=b$，$a_{n+2}=a_n-\dfrac 7{a_{n+1}}$，则_______
A.$\{a_n\}$可能递增
B.$\{a_n\}$可能递减
C.$\{a_n\}$可能为有限项
D.$\{a_n\}$可能为无限项
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试24)
设$x,y\in\mathbb{R}$，函数$f(x,y)=x^2+6y^2-2xy-14x-6y+72$的值域为$M$，则______
A.$1\in M$
B.$2\in M$
C.$3\in M$
D.$4\in M$
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试3)
集合$S=\{1,2,\cdots,25\}$，$A\subseteq S$，且$A$ 的所有子集中元素之和不同．则下列选项正确的有( )
A.$|A|_{\max}=6$
B.|$A|_{\max}=7$
C.若$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$，则$\sum\limits_{i=1}^5{\dfrac 1{a_i}}\le\dfrac 32$
D.若$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$，则$\sum\limits_{i=1}^5{\dfrac 1{a_i}}\le2$
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摘要：((清华2017.4.29标准学术能力测试1)
$a_1,a_2,\cdots,a_9$ 是数字$1$到$9$ 的一个排列，则 $a_1a_2a_3+a_4a_5a_6+a_7a_8a_9$ 的最小值为（ ）
A.$213$ B.$214$ C.$215$ D.$216$
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试10）
甲、乙、丙、丁四人做相互传球的游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿到球的人再传给其他三人中的一人，这样的传球共进行了$4$次，则第四次球传回甲的概率是_____
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