随笔分类 - 自主招生
自主招生，高考压轴题，浙江省数学竞赛或高中数学联赛一试相应难度的竞赛题.
摘要：解答：答案1，3，4.这里关于高斯函数$[x]$的一个不等式是需要知道的$x-1<[x]\le x$,具体的：
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摘要：解答：设$f(g(x_0))=x_0$,则$g(f(g(x_0)))=g(x_0)$,令$y_0=g(x_0)$则$g(f(y_0))=y_0$有解。易得答案为$B$.
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摘要：评：由关系式求表达式最经典的莫过于已知$f(x+y)=f(x)f(y)$利用柯西法求得 $f(x)=[f(1)]^x$
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摘要：证明:评： 可以思考$\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+a)^2}$与$\frac{2}{(1+\sqrt{ab})^2}$大小。
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摘要：已知${a_n}$满足$a_1=1,a_{n+1}=(1+\frac{1}{n^2+n})a_n.$证明:当$n\in N^+$时， $(1)a_{n+1}>a_n.(2)\frac{2n}{n+1}\le a_n\le \frac{en}{n+1}$评:当然也可以按参考答案由数学归纳法证明.
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摘要：评:如果说零点存在定理是“只在此山中，云深不知处”的意境。那么斯图姆定理就能处理多项式的零点个数以及定位.
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摘要：求$\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3x}$的最值.通常考试时会考你求最大值,常见的方式有三角代换，这里给如下做法:证明:$\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3x}=\sqrt{x-5}+\sqrt{3}\sqrt{8-x}\le\sqrt{(1+3)(x-5+8-x)}=\sqrt{12}$ 这边用了柯西不等式. $\sqrt{x-5}+\sqrt{24...
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摘要：已知$f(x)=ax^2+bx+c$在$x\in\{-1,0,1\}$时满足$|f(x)|\le1$ 求证:当$|x|\le1$时$|f(x)|\le\frac{5}{4}$. 证明： $$f(x)=\frac{1}{2}f(-1)(x^2-x)-f(0)(x^2-1)+\frac{1}{2}f(1
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摘要：设函数$f(x)=2x-cosx,{a_n}$是公差为$\frac{\pi}{8}$的等差数列,$f(a_1)+f(a_2)+f(a_3)+f(a_4)+f(a_5)=5\pi$，则 $[f(a_3)]^2-a_2a_3=$_____ (2...
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摘要：已知$f(x)=3ax^2+2bx+b-a$($a,b$不同时为零).求证：$f(x)$在$(-1,0)$内至少有一个零点.证明:$f(-\frac{1}{3})f(-1)=-\frac{1}{3}(2a-b)^2<0$，故由零点存在定理: 存在$c\in(-1,-\frac{1}{3})$使得$f(c)=0$评：想想$-\frac{1}{3}$是怎么取的?提示: 看$a,b$前系数...
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摘要：已知$x_1,x_2,x_3\ge0,x_1+x_2+x_3=1$求$$(x_1+3x_2+5x_3)(x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{5}x_3)(x_1+x_3+3x_2)$$的最大值。解答：$$(x_1+3x_2+5x_3)(x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{5}x_3)(x_1+x_3+3x_2)$$$$=\frac{1}{6}(x_1+3x_...
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摘要：证明$f(x)=sinx^2$不是周期函数. 反证:假设是周期函数，周期为$T,T>0$. $$f(0)=f(T)\Rightarrow sinT^2=0\Rightarrow T^2=k_1\pi,k_1\in N^{*}$$ $$f(\sqrt{2}T)=f(\sqrt{2}T+T)\Right
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摘要：求$sinx(\sqrt{cos^2x+24}-cosx)$的范围.解答:[-5,5] $$\because (sinx \sqrt{cos^2x+24}-cosxsinx)^2$$$$\le (sin^2x+cos^2x)(cos^2x+24+sin^2x)=25$$
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摘要：评：此类题目在高考中作为压轴题也曾考过，一般通性通法都如上面的做法，但是我们如果可以站在包络的角度，很多问题将变得很清晰：
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摘要：此讲部分内容属于课外阅读拓展，学有余力的可以看看。【We need to know, and we will know.】----大卫·希尔伯特（1862-1943）$y=sin\frac{1}{x}$的图像和$y=sinx$一样有着无数次的振荡，只是前者在有限区间振荡，且凝聚于0；后者在无限区间振荡。如下图：/$y=xsin\frac{1}{x}$也是靠近0时振荡无数次，如下图：
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摘要：【Read a good book, that is conversation with many a noble man.】---勒内·笛卡尔（1596-1650）解答：评：也可以把f(f(x))的表达式写出来再作图。相比之下比较花时间.
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摘要：解答：如图 评:1.反演圆及其性质介绍： 评2:此题的源头是1995年全国卷压轴题，这里用极线极点的相关性质也可以处理： 注：用相关点法很容易得到轨迹.
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摘要：注:康拓诺维奇不等式的应用
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