自主招生 - 随笔分类(第13页) - M.T

MT【34】正余弦的正整数幂次快速表示成正余弦的线性组合

摘要：问题:如何快速把$cos^4xsin^3x$表示成正弦，余弦的线性组合？分析:利用牛顿二项式展开以下表达式: 再利用欧拉公式$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$ 比如：解答: 评:这样的变换,表示成线性组合在求积分的时候就显得很有用,大学自主招生迟早会考察以上变换阅读全文

posted @ 2017-08-22 18:47 M.T 阅读(587) 评论(0) 推荐(0)

MT【33】证明琴生不等式

摘要：解答：这里数学归纳法证明时指出关键的变形.评:撇开琴生不等式自身的应用和意义外，单单就这个证明也是一道非常不错的练习数学归纳法的经典题目。阅读全文

posted @ 2017-08-22 16:55 M.T 阅读(1826) 评论(0) 推荐(0)

MT【32】内外圆(Apollonius Circle）的几何证明

摘要：另一方面，如果 M 满足(1)式,那么M必然在以PQ为直径的圆上.事实上当M为P或者Q时，这是显然的。当M异于P,Q时，由$\frac{|MB|}{|MC|}=\frac{|PB|}{|PC|}=\lambda,\frac{|MB|}{|MC|}=\frac{|QB|}{|QC|}=\lambda$知MP,MQ分别是$\angle{BMC}$的内角平分线和外交平分线，故$\angle{PMQ}=9... 阅读全文

posted @ 2017-08-22 08:09 M.T 阅读(1218) 评论(0) 推荐(0)

MT【31】傅里叶级数为背景的三角求和

摘要：接下来要讲的这道题，背景有点复杂，不要求99%的学生看的懂背景，但是解答过程中涉及的反证法以及第二数学归纳法对自主招生的学生来说倒是不错的学习机会。解答：评 : 本题的背景为高等数学中的傅里叶分析（这里有一篇我认为是最接地气的介绍傅里叶的文章，没学过积分的会看不懂http://www.360doc.com/content/13/0328/12/202378_274443797.sht... 阅读全文

posted @ 2017-08-21 22:37 M.T 阅读(909) 评论(0) 推荐(0)

MT【30】椭圆的第二定义解题

摘要：问题：上式表示的区域是怎样的？解答：利用椭圆第二定义易知当取等号时为椭圆，又令$y$趋向于$+\infty$时不等号不成立，故可以判断为椭圆内部区域。评:利用mathmatics软件容易得到阅读全文

posted @ 2017-08-21 20:56 M.T 阅读(614) 评论(0) 推荐(0)

MT【29】介绍向量的外积及应用举例

摘要：我们在学校教材里学到的数量积(内积)其实还有一个孪生兄弟向量积(外积),这个对参加自主招生以及竞赛的学生来讲是需要掌握的,这里稍作介绍:原理:例题：应用: 阅读全文

posted @ 2017-08-21 20:09 M.T 阅读(1053) 评论(0) 推荐(0)

MT【28】内心外衣下的等腰三角形个数

摘要：解答:30评：这道题倒不是传统的与内心相关的向量题，传统的与内心或者内切圆有关的两个结论是aIA+bIB+cIC=0以及所谓的"人品公式"S=rp.这里主要是得到此三角形为以AC为底的等腰三角形，结合横坐标，由图像可知答案为6取2的排列数. 阅读全文

posted @ 2017-08-21 16:03 M.T 阅读(273) 评论(0) 推荐(0)

MT【27】对数方程组求范围

摘要：解答：3评论：此类题目通性通法为换元后化归为线性规划问题。当然不等式凑配也是常见技巧，只是容易范围扩大或者缩小. 阅读全文

posted @ 2017-08-21 15:41 M.T 阅读(262) 评论(0) 推荐(0)

MT【26】ln(1+x)的对数平均放缩

摘要：评:1.某种程度上$ln(1+x)\ge \frac{2x}{2+x}$是最佳放缩. 2.这里涉及到分母为幂函数型的放缩技巧，但是不够强,做不了这题。阅读全文

posted @ 2017-08-17 18:44 M.T 阅读(3151) 评论(0) 推荐(0)

MT【25】切线不等式原理及例题

摘要：评:切线不等式和琴生（Jesen)不等式都是有其几何意义的，在对称式中每一项单变量后利用图像的凹凸性得到一个线性的关系式。已知的条件往往就是线性条件，从而可以得到最值. 阅读全文

posted @ 2017-08-17 15:44 M.T 阅读(2246) 评论(0) 推荐(0)

MT【24】一道五次方程的求根题

摘要：解答:评:一般的五次及以上的多项式方程是无根式解的，只能用计算机去精确到某某位。但是特殊的比如$x^5=1$显然有根式解，本题就是一个不平凡的特殊的例子，这里的代换用于求解三次方程的求根过程是一样的. 阅读全文

posted @ 2017-08-17 15:35 M.T 阅读(395) 评论(0) 推荐(0)

MT【23】用算术几何不等式证明数列极限存在

摘要：评:如果不需要精确到3，上界的求法可以利用$$(1+\frac{1}{n})^n*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}<(\frac{n+\frac{1}{n}*n+\frac{1}{2}*2}{n+2})^{n+2}=1$$显得更简单些阅读全文

posted @ 2017-08-17 15:25 M.T 阅读(483) 评论(0) 推荐(0)

MT【22】一道分母为混合型的放缩

摘要：评:指数函数增长》幂函数增长》对数函数增长. 阅读全文

posted @ 2017-08-17 12:42 M.T 阅读(278) 评论(0) 推荐(0)

MT【21】任意基底下的距离公式

摘要：解析：评：$\theta=90^0$时就是正交基底下（即直角坐标系下）的距离公式。阅读全文

posted @ 2017-08-17 12:26 M.T 阅读(321) 评论(0) 推荐(0)

MT【20】一道三次函数的难题

摘要：评：这道题由于系数弄得不是很好，涉及的难度为联赛一试+难度。中间用到了$Sturm$定理，还涉及到一些代数变形技巧，最后一个求关于$m$的三次方程又涉及到三次方程的求法.一个小时讲这一道题也不为过. 阅读全文

posted @ 2017-08-17 12:14 M.T 阅读(576) 评论(1) 推荐(0)

MT【19】舒尔不等式设计理念及证明

摘要：评：舒尔的想法是美妙的，当然他本身也有很多意义，在机械化证明的理念里，它也占据了一方田地。阅读全文

posted @ 2017-08-17 12:01 M.T 阅读(1648) 评论(0) 推荐(0)

MT【18】幂平均不等式的证明

摘要：评:证明时对求导要求较高，利用这个观点，对平时熟悉的调和平均，几何平均，算术平均，平方平均有了更深刻的认识. 阅读全文

posted @ 2017-08-17 09:17 M.T 阅读(8269) 评论(0) 推荐(1)

MT【17】利用柯西不等式求三角的最大值

摘要：评：此题也可以设$1+cos\theta=t$,平方后变成$t$的单变量利用均值去做. 柯西平衡系数法其实就是待定系数法，利用等号取到的条件。阅读全文

posted @ 2017-08-17 09:09 M.T 阅读(833) 评论(0) 推荐(0)

MT【16】证明无理数(2)

摘要：证明:$sin10^0$为无理数.分析:此处用$sin$的三倍角公式，结合多项式有有理根必须满足的系数之间的关系可以证明.评:证明$sin9^0$为无理数就不那么简单.思路:先利用$sin54^0=cos36^0$得到$sin18^0$的值，从而得到$cos18^0$的值$$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$$是无理数，从而利用$cos$的二倍角公式易得 $sin9^0$... 阅读全文

posted @ 2017-08-16 21:45 M.T 阅读(299) 评论(0) 推荐(0)

MT【15】证明无理数(1)

摘要：证明：$tan3^0$是无理数.分析：证明无理数的题目一般用反证法，最经典的就是$\sqrt{2}$是无理数的证明. 这里假设$tan3^0$是有理数，利用二倍角公式容易得到$tan6^0,tan12^0,tan24^0$是有理数，进而$\frac{\sqrt{3}}{3}=tan30^0$也是有理数,矛盾.评:同样的方法可以证明$tan7^0$无理数。阅读全文

posted @ 2017-08-16 21:28 M.T 阅读(378) 评论(0) 推荐(0)

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