随笔分类 - 自主招生
自主招生，高考压轴题，浙江省数学竞赛或高中数学联赛一试相应难度的竞赛题.
摘要：2017北大优秀中学生夏令营
已知$\omega $是整系数方程$x^2+ax+b=0$的一个无理数根,
求证:存在常数$C$,使得对任意互质的正整数$p,q$都有$$|\omega-\dfrac{p}{q}|\ge \dfrac{C}{q^2}$$
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摘要：2010浙江省数学竞赛,附加题.
设$D,E,F$分别为$\Delta ABC$的三边$BC,CA,AB$上的点,记$\alpha=\dfrac{BD}{BC},\beta=\dfrac{BD}{BC},\gamma=\dfrac{AF}{AB}$
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摘要：已知正系数二次函数$ax^2+bx+c=0$有实数根,证明:$\max\{a,b,c\}\ge\dfrac{4}{9}(a+b+c)$
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摘要：已知正系数二次函数$ax^2+bx+c=0$有实数根,证明:$\min\{a,b,c\}\le\dfrac{a+b+c}{4}$
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摘要：对于$c>0$,当非零实数$a,b$满足$4a^2-2ab+4b^2-c=0,$且使$|2a+b|$最大时,$\dfrac{3}{a}-\dfrac{4}{b}+\dfrac{5}{c}$的最小值为_____
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摘要：(2015华中科技大学理科实验班选拔)
已知三次方程$x^3+ax^2+bx+x=0$有三个实数根.
(1)若三个实根为$x_1,x_2,x_3$,且$x_1\le x_2\le x_3,a,b$为常数,求$c$变化时$x_3-x_1$的取值范围.
(2)若三个实数根为$a,b,c$,求$a,b,c$
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摘要：已知$0{<}x_1{<}c{<}x_2{<}e^{\frac{3}{2}},$且$\dfrac{1-ln(c)}{c^2} = \dfrac{x_1ln(x_2)-x_2ln(x_1)}{x_1x_2(x_2-x_1)}$,
证明:$c^2{<}x_1x_2$
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摘要：已知$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{2017}\dfrac{\cos kx}{\cos^k x},$则$f(\dfrac{\pi}{2018})=$_____
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摘要：若$f(x^2)$的定义域为$[-1,1]$,则函数$f(x)$的定义域为______
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摘要：设双曲线$x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$的左右焦点为$F_1,F_2$, 直线$l$ 过$F_2$且与双曲线交于$A,B$两点.若$l$的斜率存在,且$(\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B})\cdot\overrightarrow{AB}=0$, 求$l$的斜率_____
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摘要：设$f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的单调函数,且对定义域内的任意实数$x$,都有
$f(f(x)-\log_2 x)=3$求$f(x)-f^{'}(x)=2$的解所在的区间._____
A.$(0,\dfrac{1}{2})$
B.$(\dfrac{1}{2},1)$
C.$(1,2)$
D.$(2,3)$
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摘要：(2016天津压轴题)设函数$f(x)=(x-1)^3-ax-b,x\in R$, 其中$a,b\in R$
(1)求$f(x)$的单调区间.
(2)若$f(x)$存在极值点$x_0$,且$f(x_1)=f(x_0),$其中$x_1\ne x_0$,求证:$x_1+2x_0=3$;
(3)设$a>0$,函数$g(x)=|f(x)|,$求证:$g(x)$在区间$[0,2]$上的最大值不小于$\dfrac{1}{4}$
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摘要：如图,已知椭圆方程为$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$$A$为椭圆上一点,$AF_1,AF_2$与椭圆交于$B,C$两点,$A_1B,A_2C$交于一点$M$.当$A$ 在椭圆上运动时,求点$M$的运动轨迹.
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摘要：(2012新课标9)已知$\omega>0,$函数$f(x)=sin(\omega x+\dfrac{\pi}{4})$在$(\dfrac{\pi}{2},\pi)$上单调递减,则$\omega$的取值范围是______
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摘要：如图,设点$M(x_0,y_0)$是椭圆$C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$上一点,从原点$O$向圆$M:(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\dfrac{2}{3}$作两条切线分别与椭圆$C$交于$P,Q$,直线$OP,OQ$的斜率分别为$k_1,k_2$
(1)求证:$k_1k_2$为定值
(2)求四边形$OPQM$面积的最大值.
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摘要：已知椭圆$\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$（$a > b > 0$），${F_1}$、${F_2}$为其左右焦点，$P$为椭圆$C$上任意一点，$I$为$\triangle P{F_1}{F_2}$内切圆圆心，点$G$满足$\overrightarrow {P{F_1}}+ \overrightarrow {P{F_2}}= 3\overrightarrow {PG} $且$\overrightarrow {GI}= \lambda \overrightarrow {{F_1}{F_2}} $（$\lambda\in {\mathbb {R}}$且$\lambda\ne 0$），则椭圆的离心率是___
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摘要：已知直线$l:x+y-\sqrt{3}=0$过椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,(a>b>0)$的右焦点且与椭圆$E$交于$A,B$两点,$P$为$AB$中点,$OP$的斜率为$\dfrac{1}{2}$.
(1)求椭圆$E$的方程;
(2)设$CD$是椭圆$E$的动弦,且其斜率为$1$,问椭圆$E$上是否存在定点$Q$,使得直线$QC,QD$的斜率分别为$k_1,k_2$满足$k_1+k_2=0?$若存在,求出$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
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摘要：是否存在一个正方体,它的8个顶点到某一个平面的距离恰好为$0,1,2,3,4,5,6,7$ ?若存在指出正方体与相应的平面的位置关系.不存在说明理由.
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摘要：椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,(a>b>0)$的一个焦点为$F$,过$F$的直线交椭圆于$A,B$两点,$M$是点$A$关于原点的对称点.若$|AB|\perp |FM|,|AB|=|FM|$则椭圆的离心率为___
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摘要：(2011年AAA测试)将一枚均匀的硬币连续抛掷$n$次,以$p_n$ 表示未出现连续3次正面的概率.求$\{P_n\}$.并讨论$\{P_n\}$单调性和极限.
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