随笔分类 - 自主招生
自主招生，高考压轴题，浙江省数学竞赛或高中数学联赛一试相应难度的竞赛题.
摘要：已知椭圆方程:$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$,过点$P(1,1)$的两条直线分别与椭圆交于点$A,C$和$B,D$,且满足$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PC},\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{PD}$, 当$\lambda$变化时,直线$AB$的斜率是否为定值?若是求此定值.
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摘要：已知半径为2的球面上有$A,B,C,D$四点,若$AB=CD=2$,则四面体$ABCD$的体积最大为____
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摘要：已知点$A$为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左顶点,$O$为坐标原点,过椭圆的右焦点$F$作垂直于$x$轴的直线$l$.若直线$l$上存在点$P$满足$\angle{APO}=30^{0}$,则椭圆的离心率的最大值为_____
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摘要：已知$F_1,F_2$为椭圆$C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$的左右焦点,点$P$在椭圆$C$上移动时,$\Delta{F_1PF_2}$
的内心$I$的轨迹方程为_____
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摘要：特别的,如图$AB$是焦点弦时,$M$为$AB$中点,$N$为$MQ$的中点,则
$1)AQ\bot BQ$
$2)MQ\parallel y\textbf{轴}$
$3)N\textbf{在抛物线上}$
$4)N\textbf{处的切线}\parallel AB$
$5)FQ\bot AB$
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摘要：有$n$个正方形排成一行,今用红,白,黑三种颜色给这$n$个正方形染色,每个正方形只能染一种颜色.如果要求染这三种颜色的正方形都是偶数个,问有多少种不同的染色方法.
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摘要：有$n$个正方形排成一行,今用红,白,黑三种颜色给这$n$个正方形染色,每个正方形只能染一种颜色.如果要求染白色的正方形必须是偶数个,问有多少种不同的染色方法.
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摘要：$(1+x+x^2+\cdots+x^{100})^3$展开式中$x^{150}$前的系数为_____
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摘要：设有5枚无区别的棋子放在如图$5*5$的棋盘的小方格中,放棋子的规则是每行每列放且仅放一个棋子,同时,不允许放在黑方格内,则共有______ 方法.
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摘要：设$a,b,c>0,$满足$a+b+c\le abc$证明:$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le\dfrac{3}{2}$
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摘要：求方程$x+y+z=24$的整数解的个数,要求$1\le x\le 5,12\le y\le 18,-1\le z\le12$
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摘要：(2012复旦)将1张面值100元的人民币全部换成面值1角,2角,5角的人民币,不同的换法有多少种?
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摘要：已知$z_1=2\sqrt{3}i,z_2=3,z_3=-3,|z_3-z_4|=2\sqrt{3},$则$|z_1-z_4|+|z_2-z_4|$的最小值为_____
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摘要：已知函数$f(x)=x^3-3ax,(x\in(0,1))$若关于$x$的不等式$|f(x)|\le \dfrac{1}{4}$恒成立,求实数$a=$____
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摘要：(2011安徽省赛)
$f(x)=ax^3+bx+c(a,b,c\in R),$当$0\le x \le 1$时,$0\le f(x)\le 1$,求$b$的可能的最大值.
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摘要：若函数$f(x)=ax^2+20x+14(a>0)$对任意实数$t$,在闭区间$[t-1,t+1]$上总存在两实数$x_1,x_2$,使得$|f(x_1)-f(x_2)|\ge8$成立,则实数$a$的最小值为____
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摘要：设$f(x)=x^2+ax+b,g(x)=x^2+cx+d$，如果$f(g(x))=g(f(x))$没有实根,求证:$b\ne d$
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摘要：(2012北大保送)已知$f(x)$是二次函数,且$a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))$是正项等比数列;求证:$f(a)=a$
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摘要：若函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$有极值点$x_1,x_2$,且$f(x_1)=x_1$,则关于$x$的方程$3(f(x))^2+2af(x)+b=0$的不同实数根个数为_____
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摘要：若2018次方程$x^{2018}-4036x^{2017}+a_{2016}x^{2016}+\cdots+a_1x+a_0=0$ 有2018个正实数,
则对于所有可能的方程$\sum\limits_{i=0}^{2016}|a_i|$的最大值为_____
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