6565655656
摘要：
证明：反证法，假设$X$是完备的度量空间，且是第一纲的，下面我们推出矛盾 由于$X$是第一纲的，则$X$可表示为可数个疏朗集的并，不妨设$X = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {{M_n}} $，其中${M_n}$均为疏朗集任取一个闭球$B(a,1)$，由${M_1}$... 阅读全文
posted @ 2014-06-28 12:22 一阴一阳之谓道 阅读(176) 评论(0) 推荐(0)
2659595
摘要：
证明：(1)我们可知球心所组成的点列$\left\{ {{x_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $是基本列.事实上，当$m \ge n$时，由$x \in {B_m} \subset {B_n}$得\[d\left( {{x_m},{x_n}} \right) \le {\va... 阅读全文
posted @ 2014-06-28 11:52 一阴一阳之谓道 阅读(139) 评论(0) 推荐(0)
29595959
摘要：
证明：(1)因为$X_0$为$X$的真子空间，于是存在${x_1} \in X\backslash {X_0}$，记$$d = \mathop {\inf }\limits_{x \in {X_0}} \left\| {x - {x_1}} \right\|$$(2)因为$X_0$是闭的，故$d>0... 阅读全文
posted @ 2014-06-26 16:12 一阴一阳之谓道 阅读(190) 评论(0) 推荐(0)
95956264565
摘要：
证明：我们易知，当$f=0$时，取$y=0$即可，因此只需证明$f \ne 0$时定理成立 若$f$为$X$上的非零连续线性泛函，则$M = \left\{ {x|f\left( x \right) = 0} \right\}$为$X$的闭真子空间，从而由投影定理知，存在$u \in X\backs... 阅读全文
posted @ 2014-06-24 20:34 一阴一阳之谓道 阅读(187) 评论(0) 推荐(0)
265656555
摘要：
证明：令$d = \mathop {inf}\limits_{y \in M} \left\| {x - y} \right\|$，由下确界的定义知，存在${x_n} \in M$，使得\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\| {{x_n} -... 阅读全文
posted @ 2014-06-24 20:03 一阴一阳之谓道 阅读(284) 评论(0) 推荐(0)
2656565
摘要：
证明：令$d = \mathop {inf}\limits_{y \in M} \left\| {x - y} \right\|$，由下确界的定义知，存在${x_n} \in M$，使得\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\| {{x_n} -... 阅读全文
posted @ 2014-06-24 20:02 一阴一阳之谓道 阅读(105) 评论(0) 推荐(0)
5959595
摘要：
证明：必要性.若存在$X$上的连续线性泛函$f$满足条件，则\begin{align*}\left| {\sum\limits_{\upsilon = 1}^k {{t_\upsilon }{\alpha _\upsilon }} } \right| &= \left| {\sum\limits_{... 阅读全文
posted @ 2014-06-21 12:00 一阴一阳之谓道 阅读(246) 评论(0) 推荐(0)
3655522
摘要：
证明：考虑由$Z$与$x_0$张成的子空间$Z_1$，由于${x_0} \ne Z$，则$Z_1$中任一元素$x$可唯一地表示为\[x = x' + t{x_0},x' \in Z\]令\[g\left( x \right) = td = td\left( {{x_0},Z} \right)\]则$... 阅读全文
posted @ 2014-06-21 11:58 一阴一阳之谓道 阅读(158) 评论(0) 推荐(0)
2956856
摘要：
证明：$\bf注1：$$\bf(推广)$设$X$为线性空间，$p(x)$为$X$上的次线性泛函.若$f$为$X$的子空间$X_0$上的线性泛函，且\[\left| {f\left( x \right)} \right| \le p\left( x \right),\forall x \in {X_0... 阅读全文
posted @ 2014-06-19 11:24 一阴一阳之谓道 阅读(181) 评论(0) 推荐(0)
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