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证明：(1)我们可知球心所组成的点列$\left\{ {{x_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $是基本列.事实上，当$m \ge n$时，由$x \in {B_m} \subset {B_n}$得\[d\left( {{x_m},{x_n}} \right) \le {\varepsilon _n}\]由于${\varepsilon _n} \to 0$，则对任给$\varepsilon  > 0$，存在$N$，使得当$n\ge N$，有${\varepsilon _n}<\varepsilon$，于是当$m,n\ge N$时，有\[d\left( {{x_m},{x_n}} \right) < \varepsilon \]所以$\left\{ {{x_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $是基本列

(2)由于空间$X$是完备的，则点列$\left\{ {{x_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $收敛于$X$中的一点$x$，令$m\to \infty$，则由距离的连续性知\[d\left( {x,{x_n}} \right) \le {\varepsilon _n}\]所以$x\in {B_n},n = 1,2, \cdots $，即$x \in \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {{B_n}} $

(3)假设还存在$X$中的点$y \in \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {{B_n}} $，则\[d\left( {y,{x_n}} \right) \le {\varepsilon _n}\]令$n\to \infty$，则$d\left( {y,x} \right) = \lim \limits_{n \to \infty } d\left( {y,{x_n}} \right) = 0$，所以由度量空间的定义知$y=x$，即证