随笔分类 - 数学
摘要：1 高斯函数积分在无穷区间上积分为1 高斯函数 在无穷区间上积分为 ， 为了简便，可先求函数 的积分，证明如下： 令 ，则 ， 整理得 ， 令 ，使用极坐标变换得 ， 先对 积分，令 ，则 ， 替换变量得 将 T 带入 得 ， 因此 。 对高斯函数积分表示为 ， 令 ，， 使用 y 替换 x 得 ，
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摘要：1 一维与二维离散傅里叶变换 以周期 对函数 f(t) 采样可表示为 ， 对采样函数进行傅里叶变换得 ， 整理得 。 由于对函数 f(t) 的采样周期为 ，采样函数的傅里叶变换的一个完整周期为 ， 同样的， 也是采样函数的傅里叶变换的一个完整周期，只是这个周期不是以原点对称的。 在 区间中取 M 个
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摘要：1 冲激信号及其取样特性 定义连续变量 t 在 t = 0 处单位冲激为 ，且满足 。 单位冲激信号 在 t = 0 处的值无限大，其积分和为 1。 定义连续变量 t 在 处单位冲激为 ，且满足 。 单位冲激信号 在 处的值无限大，其积分和为 1。 设任意连续函数 f(t)，对其进行取样操作可表达为
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摘要：1 一阶线性近似 函数 f(x) 的一阶导数为 ，使用较小变化量代替微分量得 ，令 ，， 进一步整理得 ，当已知 ，则可以求解 的一阶近似解为 y。 2 求解近似解 1）函数 ，求解 f(11) ？ 已知 f(9) = 3，使用线性近似得 。 2）函数 ，求解 f(.99) ? 已知 f(1) =
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摘要：1 ，c 为常数； 2 ，n 为任意有理数，证明如下： 1）当 n 为正整数时，， 使用二项定理 ， ； 2）当 n 为负整数时，令 m = -n, 则 m 为正整数，， 使用求导除法规则 ，; 3）当 n 为零时，自然满足公式； 4）当 n 为有理数时，，等式可改写为 ，利用隐函数求导有：， 整理
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摘要：在二维空间中，绕任意点旋转可以分解为： 1）平移旋转点到原点，2）绕原点旋转，3）逆平移旋转点； 可用矩阵表示为 ， 其中， 表示绕原点旋转 ， 为平移矩阵。 在三维空间中绕任意轴旋转一个对象，可以分解为分别绕不同轴旋转一定角度。 1 绕三维坐标轴旋转 设 x,y,z 为三个正交方向上的单位向量，将
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摘要：1 向量点积 向量点积度量两向量的相似度，可以分别从直角坐标与极坐标角度进行理解。 向量 ， 点积可被分解为两个方向的乘积之和，如下图： 通俗的说，假如 x 方向表示苹果，y 方向表示橙子， 表示有 个苹果， 个橙子，对苹果乘以 ，对橙子乘以 ，最终得到 个水果； 从极坐标角度来看，表示一个方向上能
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摘要：对于正定矩阵 A 可被分解为 ，其中，Q 为正交矩阵， 在对角线上元素均为正值； 对于任意矩阵 A（方阵或长方形矩阵），可以分解为 ，其中，U，V 为两个不相同的正交矩阵， 在对角线上元素均为正值； 在矩阵 A 的行空间与零空间上任意选择正交单位向量 ，对每一个向量做线性变换 ，使得 位于矩阵 A
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摘要：1 极值点 对于一元函数 f(x)，其极值点有如下结论： 1）当一阶导数为零时，该点为极值点； 2）当二阶导数大于零时，该点为极小值；当二阶导数小于零时，该点为极大值； 3）当二阶导数等于零时，无法判断； 对于一般二元函数 ，其一阶偏导满足关系 为极值点， 使用泰勒公式的二阶近似 ， 由于一阶偏导为
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摘要：1 对称矩阵 当矩阵中所有元素均为实数时，满足 时，该矩阵为对称矩阵 ； 其特征值均为实数，特征向量相互正交。 特征值为实数证明如下： ，两边同时取共轭得 ，， 由于 A 为实矩阵，，由于 A 为对称矩阵，两边转置后得 ， 两边同时乘 x 得 ， 对 两边同时乘 得 ， 对比 与 得 ，故 为实数；
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摘要：1 行列式使用如下性质定义 1）单位矩阵行列式值为 1，，对于任意单位矩阵均成立； 2）当矩阵交换一行后，行列式值改变符号，如置换矩阵的行列式值为 （根据行交换次数决定）； 3）矩阵任意行线性变换导致行列式值产生线性变换： ， ； 使用以上三条基本性质，可以推导更多性质： 4）如果矩阵两行相等，行列
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摘要：1 orthonormal 向量与 Orthogonal 矩阵 orthonormal 向量定义为 ，任意向量 相互垂直，且模长为1； 如果将 orthonormal 向量按列组织成矩阵，矩阵为 Orthogonal 矩阵，满足如下性质： ； 当 为方阵时，为其逆矩阵；当 为长方形矩阵时，为其左逆；
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摘要：一个成像系统可以看作一个线性移不变系统，他将理想图像变换为我们所观察到的图像。 相对于与实际相关的线性时不变系统，二维图像线性移不变系统不受因果约束。系统基本特性如下： 1） 2） 1 点扩散函数 1）冲击函数采样 为无限冲击函数，当作用与连续函数时，有 ，推导如下： 在 区间，有关系式 ，做如下变
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摘要：1 二元函数极值 对于单变量函数，使用一阶导数判断在某点上是否存在极值，使用二阶导数判断该点是极大值或者极小值。 对于二元函数，首先讨论二元二次函数极值情况，然后将结论推广到一般二元函数情形。 对二元二次函数 ，求偏导得并令其为 0 有 ，解方程组得 ，则函数 z 的临界点位于原点，进一步对函数 z
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摘要：使用线性代数可以更好理解图相关知识。图由顶点与边组成，以下有向图可以使用关联矩阵表示： 矩阵 A 每行表示一条有向边，每列表示一个顶点信息。该图可以表示一个无源电路系统，通过考察矩阵 A 的四个基本子空间，可以有效理解该电路系统。 矩阵 A 的零空间 通过求解 ，其解 x 位于矩阵的零空间。展开方程
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摘要：在三维空间中，给定一固定旋转轴，任意初始向量绕旋转轴旋转任意角度，可表示为 ，其中，v 表示旋转前向量， 表示旋转后向量，R 表示旋转矩阵，该矩阵参数与固定旋转轴坐标，旋转角度有关。下面使用图示推导旋转矩阵 R： 如上图所示，单位向量 为固定旋转轴，原向量 v 旋转 后为 ； 分解原向量 ，向量 v
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摘要：一 线性方程组 Ax=b 的解释 线性方程组 Ax=b，其中矩阵 A 尺寸为 m*n, 当 A 为方正时，可使用消元法判断解是否存在并求解。当 A 为长方形矩阵时，同样可使用消元法判断解存在情况并求解。 线性方程组 Ax=b 可以使用不同观点看待： 1）可看作函数 f(x)=b,即输入任意 n 维向
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摘要：一 尺度函数与小波函数 基本尺度函数定义为：，对其向右平移任意 k 个单位，构成函数族 ， 该函数族在 空间中正交，证明如下： 1 ； 2 当 m 不等于 k 时， 函数族 构成一组正交基，并形成 子空间。在 子空间中，任意函数均可表示为 的线性组合，。 将函数族 构造宽度缩小一半，则可形成宽度为
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摘要：一 向量空间与内积空间 向量空间也称作线性空间，向量空间对向量线性组合封闭。如果 为向量空间 V 的一组基，则 仍在向量空间 V 中。在向量空间中，仅定义了数乘与向量加法运算。在此基础上，定义内积运算，通过内积运算，可以求解向量长度，向量间角度等概念，这就定义了内积空间。设向量为X, Y，X 长度定
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摘要：有如下方程组 ，当矩阵 A 各列向量互不相关时， 方程组有位移解，可以使用消元法求解，具体如下： 使用消元矩阵将 A 变成上三角矩阵 ， ， 使用消元矩阵作用于向量 b，得到向量 c，， ， Ax=b 消元后变为 ，即 ， 由于 为上三角矩阵， 使用回带法即可求解方程组。 对矩阵 做如下运算 。在消
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