特殊矩阵的特征值与特征向量
1 对称矩阵
当矩阵中所有元素均为实数时，满足 
时，该矩阵为对称矩阵 
； 其特征值均为实数，特征向量相互正交。
特征值为实数证明如下：
，两边同时取共轭得 
，
，
由于 A 为实矩阵，
，由于 A 为对称矩阵，两边转置后得 
，
两边同时乘 x 得 
，
对 两边同时乘 
得 
，
对比 与 得 
，故 
为实数；
特征向量相互正交证明如下：
假设有两特征向量满足 
，
，
要证明两向量正交，需要构造 
表达式，通过矩阵 A 可建立如下联系：
，
，
由于特征值为实数且不相等， 
，
，故特征向量相互正交；
2 Hermitian 矩阵
在复平面上，向量 x 得长度定位为 
，
向量 x，y 正交定义为 
，
如果 
，该矩阵为复数域中的对称矩阵，被称为 Hermitian 矩阵，
；
由于实数域是复数域的一个子集，实数域中的对称矩阵也是复数域中的 Hermitian 矩阵；Hermitian 矩阵的特征值为实数，特征向量相互正交。
特征值为实数证明如下：
，由于 
，c 为一复数，
，c 为一实数，
，
，
，
为特征向量的模长，该模长为一实数，且特征向量不为零使得 
，故特征值为实数；
特征向量相互正交证明如下：
假设有两特征向量满足 ，，
，
由于特征值为实数，
，由于 
，由于 
，
，两特征向量正交；
当矩阵有充足的特征向量，矩阵 A 可被分解为 
，由于矩阵A为 Hermittan矩阵(或对称矩阵)，其特征向量正交，将其归一化后得 ：
，矩阵 A 被分解为 n 个 Rank 1 矩阵得线性和。
3 斜对称矩阵
当矩阵中所有元素均为实数时，满足 
时，该矩阵为对称矩阵 
； 其特征值均为纯虚数，特征向量相互正交。
特征值为纯虚数证明如下：
与对称矩阵特征值为实数证明类似，，，
，
两边转置得 
， 两边同时乘 x 得 
，
对 两边同时乘 得 ，
对比 与 得 
，
由于特征向量不为零，有 
，故特征值为纯虚数；
特征向量相互正交证明如下：
对称矩阵特征向量相互正交证明类似，假设有两特征向量满足 ，，
要证明两向量正交，需要构造 表达式，通过矩阵 A 可建立如下联系：
，
，
由特征值不为零得 ，故特征向量相互正交；
4 Skew Hermittan 矩阵
当矩阵中元素包含复数时，如果 
，
，该矩阵为 Skew Hermittan 矩阵。其特征值为纯虚数，特征向量正交。
由 
得 
为纯虚数，
表示向量模长的平方，为实数，
在 Hermittan 矩阵中 ，故特征值为纯虚数；
假设有两特征向量满足 ，，
，
，
由特征值不为零得 ，故特征向量相互正交；
5 酉矩阵（正交矩阵）
如果矩阵 A 中每列向量相互正交且为单位长度，如果矩阵中各元素均为实数时为正交矩阵，如果矩阵中存在复数为酉矩阵；
酉矩阵与正交矩阵性质基本一致，其证明过程也基本一致，下面给出酉矩阵性质及证明：
1）酉矩阵不改变向量点积与长度；
，
；
2）酉矩阵特征值绝对值为 1；
，由于性质 1）
，
；
3）酉矩阵特征向量正交；
假设 
，
，
，
由于 ，且 
为不同特征值，因此 
，故 
，特征向量正交；
参考资料 Linear Algebra And Its Applications Gilbert Strang
