三维旋转

    在二维空间中，绕任意点旋转可以分解为：

    1）平移旋转点到原点，2）绕原点旋转，3）逆平移旋转点；

    可用矩阵表示为 ，

    其中， 表示绕原点旋转 ， 为平移矩阵。

   在三维空间中绕任意轴旋转一个对象，可以分解为分别绕不同轴旋转一定角度。

   1 绕三维坐标轴旋转

      设 x,y,z 为三个正交方向上的单位向量，将他们构成三维空间坐标需要满足以下叉乘关系：

      ；

      定义绕各个坐标轴旋转方向如下图：

       

 

      当任意点绕 Z 轴旋转时，该点在 Z 轴上坐标保持不变，在 X,Y 轴上坐标轴上退化为二维旋转，如下图所示：

      

     由  得 ，

      由  得 ，

      最终得：  ，其中矩阵变换表示为：；

      同理， 绕 X 轴旋转表示为：，绕 Y 轴旋转表示为：。

      当对任意点旋转  后再旋转 ，该点回到原始位置，则旋转矩阵  是旋转矩阵  得逆矩阵，观察以上旋转矩阵可知 。

 

     2 绕过原点任意单位向量轴旋转

        当旋转轴为过原点任意轴时，可使用如下方案旋转：

        1）旋转对象使得旋转轴与某一坐标轴重合；

        2）绕该坐标轴旋转；

        3）使用逆旋转使旋转轴回到原始方向；

        使用矩阵表示为： 。

        

        如上图所示，u=(a,b,c) 为任意过原点旋转轴，。要旋转 u 使其与 z 轴重合，首先需将 u 轴旋转到 xz 平面。

        将 u 投影到 yz 平面得 ，在 yz 平面上将  旋转 到 z 轴的旋转角等于将 u 绕 x 轴旋转到 xz 平面。

        根据余弦定理得：。

        利用向量叉乘求正弦：，，

        求解得：。这里不使用  求解是因为该公式无法确定计算结果符号。

        使用矩阵形式表示 u 绕 x 轴旋转 ：，旋转后向量为：。

         绕 y 轴旋转到 z 轴上的旋转角余弦为：。

        利用向量叉乘求正弦：，，。

        使用矩阵形式表示  绕 y 轴旋转 ：。

        当将任意单位坐标做旋转到与 z 轴重合后，使用以下矩阵完成真实旋转：。

        然后使用逆旋转矩阵还原原始坐标（逆旋转矩阵为对应旋转矩阵的转置矩阵），实现绕任意过原点单位向量旋转。

 

    3 罗德里格斯公式

       使用罗德里格斯公式，同样可以实现绕过原点任意单位向量旋转，详细讲解在 https://www.cnblogs.com/luofeiju/p/12016761.html。

       该方法最终推导出了旋转矩阵为：，。

 

       理论上来说，以上两种方案推导出的旋转矩阵应该是一致的（旋转轴与旋转角度一致情况下）。

 

    4 引入平移

       当旋转轴不过原点时，可以引入平移矩阵实现绕任意轴旋转。

       假设旋转轴过点 ，，，

       首先构造单位长度旋转轴向量为： ，

       构造平移矩阵为：，

       旋转矩阵  被改写为：，

       旋转轴为以上单位旋转向量，从而实现了绕任意轴旋转。

       在罗德里格斯公式中，采用同样方式构造绕任意轴旋转矩阵为：。

 

    5 四元数描述旋转

       1）四元数概念

             四元数是复数到高维扩充，定义为 ，

             。

             将四元数表示成向量 ，

             定义四元数加法为 ，

             等价于 。

             定义四元数乘法为 。

             由于四元数平方和为 ，可定义四元数的逆为 ，使得  成立。

       2）描述旋转轴为过原点任意单位向量的旋转

              为旋转轴单位向量，定义 ，

             则任意点 p = (x,y,z) 被描述为 ，旋转后点为 ，

             使用公式  可计算出 p 点旋转后坐标 。

             使用四元数计算规则可得 ，

             由于 ，有 ，

             。

             引入向量 v 的叉积矩阵 ，上式可改写为：，实现 p 到   旋转变换。

       3）与罗德里格斯公式关系

             令旋转轴为单位向量(x,y,z)，旋转角度为 ，旋转四元数定义为 ；

             根据三角函数有 ，，

             罗德里格斯公式改写为  ，

             由于 ，可定义 ，

             进一步改写罗德里格斯公式 ，

             最终整理结果为 ；

             将  整理成矩阵形式，其结果与罗德里格斯整理矩阵一致，因此验证了两种方式是一致的。

 

    参考资料 Computer Graphics with OpenGL   Donald Hearn & M. Pauline Baker & Warren R. Carithers