通用函数求导

1  ，c 为常数；

2  ，n 为任意有理数，证明如下：

    1）当 n 为正整数时，，

         使用二项定理 ，

         ；

    2）当 n 为负整数时，令 m = -n, 则 m 为正整数，，

         使用求导除法规则 ，;

   3）当 n 为零时，自然满足公式；

   4）当 n 为有理数时，，等式可改写为 ，利用隐函数求导有：，

        整理得：;

3  ，c 为常数；

4  ，u,v 为不同函数；

5  ，证明如下：

    ，

    ；

6  ，证明如下：

    ， ；

7  复合函数 ，，证明如下：

    ，对其求极限得：，

    由于  为连续函数，根据连续性得：当  时，，

    可得 ；

8 三角函数求导

   1）在半径为 1 的单位圆周上任意点 (x,y) 对应的基本三角函数有：

        ，

        ；

   2）当  以弧度计量时，，证明如下：

         a. 在单位圆中， ， 为该角度对应的弧长，当  趋近无穷小时，两者相等，等式 成立；

         b. ，；

  3），

       ；

  4）使用相似方法可证明 ；

  5）利用复合求导规则，可以推导出其他基本三角函数导数，如下：

       ；

9 反三角函数求导

   1）对反三角函数  求导等价于对  求导，

        应用隐函数求导规则有 ，，

        由  得  ，

        由于  在定义域内为单调递增函数，故 ；

   2） 等价于 ，，，

        由于  在定义域内单调递减，故 ；

  3） 等价于 ，；

  4），，

       由于  在定义域内单调递增，；

  5）,  ；

  6），，

       由于  在定义域内单调递减，；

10 指数与对数函数求导

    1）指数基本运算法则是显然的，包括：

       ；

    2）对数基本运算法则需要一些推导，包括：

        . ，由于指数与对数互为反函数关系，该结论是显然的；

        . ，通过关系式  可推导结论；

        .，通过关系式  可推导结论；

        .，通过关系式  可推导结论；

        .，欲证明该等式成立，可转换为证明  是否成立，

         两边取对数  可证明等式成立；

    3）极限  存在？

         通过对对数函数求导运算，可证明极限  为一个有限实数，具体如下：

         ，

         当 x = 0 时有 ，观察图形在该点出导数为有限实数，则极限  为有限实数，

         令 ，等式可变换为 ，

         令 ，上式可改写为 ,

         最终得到 ，则极限  存在。

    4）求导 ？

         ,

        令  ，有 ，

         现在设 ，当对数底为  时，对数求导结果最为简化，

         ，得到任意底对数函数导数；

         当对数函数底为  时，有 。

    5）指数函数  求导

         将指数函数改写为对数函数 ，

         利用隐函数求导规则有 ，，；

         当指数函数为  时，。

 

参考资料 Calculus With Analytic Geometry   George F. Simmons

                The Calculus Lifesaver  Adrian Banner