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决策单调性与四边形不等式 决策单调性 解决形如 \(dp_i = \min_{j\in[1,i] w(j,i)}\) 的最优化问题时，令 \(\text{opt}_i\) 为 \(i\) 的最优决策点。 定义： 决策单调性指的是 \(\forall i_1, i_2, i_1 \lt i_2, \t 阅读全文
posted @ 2025-07-29 21:38
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本文主要介绍线段树打标记和维护可合并信息的技巧。 节点维护信息、打标记常见 tricks 区间加，求区间 gcd 由 \(\gcd(a,b)=\gcd(a,a-b)\)，发现区间加不会影响差分数组。 考虑维护差分数组的区间 gcd，这样每次区间 \([l,r]\) 查询后和 \(a_l\) 求一下 阅读全文
posted @ 2025-07-26 21:00
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线段树合并 适用性 线段树合并一般用来统计图上和树上的信息。 同时，因为线段树合并在线段树中信息比较分散（感性理解）时效率更高，所有一般用在动态开点权值线段树上。 思想 合并两棵线段树 t1、t2 时，按照正常方法递归。到每个节点 x 的时候： t1[x] 存在，t2[x] 不存在，则返回 t1[x 阅读全文
posted @ 2025-07-24 15:22
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斜率优化题单 思想&定义 这块全几把是错的qwq 斜率优化就是 dp 的一种优化方式，针对转移式含有取 min、max 的 dp。 普通斜率优化的前提是决策单调性，我们先定义决策点。 决策点：可以转移给 \(dp_i\) 的点称为 \(i\) 的决策点，如例题中的 \(dp_i=\min\{dp_j 阅读全文
posted @ 2025-07-23 16:51
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本文主要介绍 dp 优化方法——整体维护。 算法思想 整体维护的思想就是不去维护每个节点具体的 dp 值，而是将 dp 数组看成一个序列。 常见的是将二维 dp[i][j] 看成是 dp[0]，dp[1]，... 这样的几个序列，利用数据结构维护序列的变化。 第一步：找到要维护的对象（的数学形式） 阅读全文
posted @ 2025-07-23 16:34
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曼哈顿路径 对于两个点 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)，曼哈顿距离为 \(Man\_dis(A,B)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)。 根据 杂项 trick：\(|x_1-x_2| = \max(x_1-x_2,x_2-x_1)\)。 于是可以将所有的绝对值展开，得 阅读全文
posted @ 2025-07-23 12:33
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本文主要记录一些无法归类，或者可以归到很多类的奇妙 tricks 判断因数 \(a\) 是 \(b\) 的因数等价于 \(a\) 的每个质因子次数都 \(\leq b\)。 这里可以使用高维前缀和统计。 \(a\) 是 \(b\) 的因数等价于 \(\gcd(a,b)=a\)。 可以搭配数据结构。 阅读全文
posted @ 2025-07-23 10:46
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增量法： 例题： 一个一般的前 k 小问题。两个序列各自选择一个数，问和的第 k 小可能是多少。 将两个序列分别排序，各自选择第一个，显然这种是全局最小。考虑用这种状态作为初始状态进行拓展。 每次可以将一个序列选择数的下标 + 1，去重后放入优先队列。显然优先队列的第 k 个取出的即为答案。 例题2 阅读全文
posted @ 2025-07-23 10:02
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本文主要介绍 dp 的一些小的技巧而不是大的方法。 状态和转移顺序 状态设计中，考虑分界线左右两侧，将一侧中的状态按照向另一侧贡献分为若干等价类，此时一个等价类就是一个状态。 可以分析状态中每一维何时有意义，找到优化方向 改变转移顺序 例题： 题面： 一个由 \(+1\)，\(-1\)，\(?\) 阅读全文
posted @ 2025-07-23 00:02
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