DP 杂项 tricks

本文主要介绍 dp 的一些小的技巧而不是大的方法。

状态和转移顺序

状态设计中，考虑分界线左右两侧，将一侧中的状态按照向另一侧贡献分为若干等价类，此时一个等价类就是一个状态。

可以分析状态中每一维何时有意义，找到优化方向

改变转移顺序

例题：

题面：

一个由 \(+1\)，\(-1\)，\(?\) 组成的序列，长度为 \(n\)，每个 \(?\) 都可以变为 \(+1\) 或 \(-1\)，问所有可能中最大前缀和为 \(0,1,...\) 分别多少种。\(n \leq 5 \times 10 ^ 3\)。

解法

这道题如果从 \(1\) 到 \(n\) 做 dp，则状态为 dp[i][j][k] 表示考虑前 \(i\) 个问号，最大前缀和为 \(j\)，当前前缀和为 \(k\) 的答案。时间复杂度 \(O(n^3)\)。

发现当最大前缀和在后半段时，则 \(j\) 没有用；如果最大前缀和在前半段时，则 \(k\) 没有用。有优化空间。

于是考虑从后往前 dp。当前知道一个后缀的最大前缀和，在前面添加数。dp[i][j] 考虑从后往前到 \(i\)，最大前缀和为 \(j\) 的答案。转移平凡。时间复杂度 \(O(n^2)\)。

状压 dp

可行性问题——边界特殊状态简化

可行性问题中，有些状态的实现难度严格比其他状态困难，如果发现困难状态实现可以推导出其他状态实现，则只保留困难状态（一般为边界状态）。

例题：P10492 Weather Forecast

题面：

题意是有一个 4 * 4 的方格图，拿着一个 2 * 2 来覆盖。每个块在一些时间不能被覆盖，所有块不能连续 7 天不覆盖。找方案。

解法：

发现四个角的覆盖是“困难状态”，只要四个角覆盖，那么中间的一定可以。

不需要记录所有位置上次覆盖的时间，只需要记录四个角即可。

把一坨 dp(i,?) 状压到一个 S

如何 dp(i,?) 单调递增 / 每次增长 \(\le 1\)，状压差分