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五年级蒟蒻的第一篇黑题题解，求过，求赞。 顺着做题计划做题，顺便补一下这周掉的一点点社贡分。 这个题跟我从早上 \(8\) 点纠缠到晚上 \(10\) 点，题挺好，就是这个 Subtask 分治有点恶心。 题意 给定一个积性函数 \(f(x)\)，但不保证 \(f(1)=1\)，给定莫比乌斯变换 \ 阅读全文
posted @ 2026-04-22 23:00
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杜教筛 我们之前通过线性筛（欧拉筛）求出了 \(\mu(i)\) 和 \(\varphi(i)\) 的前缀和，以优秀的 \(O(n)\) 抢占先机。 但是，我们在 \(O(nq)\) 的时间复杂度下百万量级的数据是过不了的。 你不要跟我说 WC2026 的文艺汇演说 我们的每一档部分分都是意料之外的 阅读全文
posted @ 2026-03-18 13:30
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突然发现自己做题计划里有这道题，就顺便学了一下莫比乌斯反演。 算法详解 莫比乌斯函数 其核心就是莫比乌斯函数 \(\mu(n)\)，定义在 \(\Z^+\) 上，取值规则为： 当 \(n=1\) 时，\(\mu(n)=1\) 当 \(n \ne 1\) 时 若存在一个质数 \(p\)，使得 \(p^ 阅读全文
posted @ 2026-03-13 16:30
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拉格朗日插值法 拉格朗日插值法是一种简单经典的多项式插值法，它通过构造一个不超过 \(n-1\) 次的多项式来确定平面上的 \(n\) 个点 \((x_i,y_i)\) 即给定 \(n\) 个有序对 \((x_i,y_i)\)，求一个函数 \(f(x)\)，使得 \(f(x_i)=y_i\)。 怎么 阅读全文
posted @ 2026-03-02 09:53
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五年级 xxs 赛时被卡溢出了呜呜呜。 推式子 这个推式子推了我半小时，感觉推复杂了，不过也在赛后补题的时候过了。 什么文字的太多了，直接看形式化题意，让我们求 \[\sum_{1 \le l<r \le n} \sum_{l \le i<j \le r} [(j-1)k+a_j'-(i-1)k+a 阅读全文
posted @ 2026-03-01 22:05
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整除分块是什么 整除分块（又称数论分块）是数论中一种用于高效计算含有求和公式的技巧。当我们需要计算含有 \(\left \lfloor \dfrac ni \right \rfloor\) 的求和公式的技巧。 当我们需要计算 \[\sum_{i=1}^n f(i) \cdot g(\left \lf 阅读全文
posted @ 2026-03-01 14:12
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前言 欢迎收看五年级飞舞 xxs 撰写的不等式专题，大佬们不喜勿喷，觉得好的话可不可以留个点赞再走哦（有点无耻）。 本文主要讲述均值不等式的证明。 提醒 建议掌握高中数学的大佬观看。 均值不等式 正如本文标题，均值不等式的英文就是 AM-GM inequality。 均值不等式就是： 对于任意的非负 阅读全文
posted @ 2026-02-22 11:19
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省流：经典的01分数规划+背包 DP。 题目传送门 话说分数规划这玩意我也不是很会。 这类分数规划+背包 DP 还是挺少见的，毕竟在 Luogu 上都只有两道，还有一道是 P4322，到时候有空也做一下。 下面讲一下分数规划是啥以及可以解决什么问题 这里主要讲解 01 分数规划。 01分数规划是一类 阅读全文
posted @ 2026-02-12 10:32
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前言 欢迎广大 OIer 观看五年级 xxs 的三角函数专题。 话不多说，进入正题。 请已经掌握三角函数基本知识的盆友观看。 前置芝士 三角函数恒等变换是高考以及各种名校自招的热门考点，充满灵活性与技巧性，推导过程看着赏（nao）心（dai）悦（fa）目（yun），接下来让我们了解一下基本的变形公式 阅读全文
posted @ 2026-02-05 12:59
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省流：贪心就是那么的恶心。 题目传送门 这种蓝题的贪心还是值得好好想一想的。 经过我们的多重猜测，我们应当按左右手之积升序排序，证明如下。 证 对于大臣 \(i\) 和 \(i+1\)，设 \(1\) 到 \(i+1\) 的最大值为 \(\alpha\)，\(1\) 到 \(i-1\) 的最大值为 阅读全文
posted @ 2026-02-02 22:55
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前言 这是我和盟友两位五年级蒟蒻合作的数论合集第二篇文章，大佬们不喜勿喷，感谢您的收看。 多位数表示 我们在数学学习生活中，经常碰到需要把一个数表示出来，如果位数已知，例如八位数： \[\overline{abcdefgh} \]但如果位数未知，最简单粗暴的方法就是表示成这样： \[\overlin 阅读全文
posted @ 2026-02-02 19:12
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前言 这是我和盟友两位五年级蒟蒻合作的数论合集第六篇文章，大佬们不喜勿喷，感谢您的收看。 辗转相除理论基础 带余除法的定义与证明 定义 对于任意的整数 \(a\) 与非零整数 \(b\)，存在唯一整数对 \((q,r)\)，满足： \(a=bq+r\)； \(0 \le r < |b|\)。 接下来 阅读全文
posted @ 2026-02-02 18:59
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前言 本文由五年级的蒟蒻 dingziyang888 和 tangtianyao0123 共同编写，大佬们不喜勿喷。整体内容为高斯取整的拓展延申，整体难度偏高。 建议学习过数论组合 L2 的同学观看。 定义与性质 本版块由 tangtianyao0123 编写。 定义 \([x]\) 为不超过 \( 阅读全文
posted @ 2026-02-02 18:25
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顺着专项训练做题，第一次写 AGC 题解，求过 qwq。 题意 定义一个定义在整数域上的二元函数 \(f(A,B)\)，值域为由 A 和 B 组成的字符串集合，具体定义如下： \(|f(A,B)|=A+B\)。 \(f(A,B)\) 恰好包含 \(A\) 个 A 和 \(B\) 个 B。 \(f(a 阅读全文
posted @ 2026-05-09 15:35
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顺着做题计划做题，顺便写个题解补一下这一周掉的一点点社贡分。 题意 一个 \(n \times n\) 的网格，每种颜色的绀珠恰好有 \(n\) 个，呈均匀随机分布，每次可以消除底端一行中连续相同颜色的绀珠，之后上面的绀珠因重力下落，求全部消除的最小步数。 做法分析 首先看到求最小步数我们容易想到 阅读全文
posted @ 2026-04-20 15:54
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求 \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \operatorname{lcm}(i,j) \bmod 20101009 \]写一个质数判断的程序不难发现，模数是一个质数。 我们把 \(\operatorname{lcm}\) 改成 \(\gcd\) \[\sum_{i=1}^n \ 阅读全文
posted @ 2026-04-18 08:06
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数表里第 \(i\) 行第 \(j\) 列的数相当于 \[\sigma(\gcd(i,j)) \]我们先不管 \(a\)，那么我们要求的就是 \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sigma(\gcd(i,j)) \]直接枚举因数并交换求和顺序 \[\sum_{d=1}^n \s 阅读全文
posted @ 2026-04-18 08:05
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没错，这是两道题，一道加强一道不加强。 其实工单里有建议降蓝的，十分 zc，因为他真的不难。 很容易发现我们固定前 \(k\) 对均坐在同一排，当然选排的方法数将会先计算，剩下 \(n-k\) 对错排即可。设 \(D_i\) 表示 \(i\) 对错排的方法数，则答案为 \[\binom nk^2 2 阅读全文
posted @ 2026-04-18 08:04
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设无限集 \(\mathbb P\) 表示全体质数，则问题即求 \[\sum_{p \in \mathbb P}\sum_{x=1}^n \sum_{y=1}^m [\gcd(x,y)=p] \]发现有一个叫 \([\gcd(x,y)=p]\) 的东西，那不就是莫比乌斯反演吗？？？不会的话建议重修 阅读全文
posted @ 2026-04-18 08:03
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手刃一道黑的蒟蒻太高兴了！！！ 题目传送门 给定三个整数 \(n,m,p\)，求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^p\gcd(ij,ik,jk)\cdot \gcd(i,j,k)\cdot \left(\frac{\gcd(i,j)}{\gcd(i,k)\c 阅读全文
posted @ 2026-03-23 20:19
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个人感觉这个题还是出得很好的，尤其是推式子有一步刚刚好吻合。 题目给了一个类似递推的式子，还给了矩阵的第一列 \(l_i\) 和第一行 \(t_i\)，求 \(F{n,n}\)。 我们注意到 \(l_i\) 和 \(t_i\) 都是会被重复计算的。 所以我们计算其对于此矩阵的贡献（对于 \(F_{n 阅读全文
posted @ 2026-03-21 09:59
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