P15546 学习笔记
赛时被卡溢出了呜呜呜。
推式子
这个推式子推了我半小时，感觉推复杂了，不过也在赛后补题的时候过了。
什么文字的太多了，直接看形式化题意，让我们求
\[\sum_{1 \le l<r \le n} \sum_{l \le i<j \le r} [(j-1)k+a_j'-(i-1)k+a_i']
\]
的最大值。
我们定义第 \(x\) 列的行号
\[f(x)=(x-1)k+a_x'
\]
则原式变为
\[\sum_{1 \le l<r \le n} \sum_{1 \le i<j \le r} [f(j)-f(i)]。
\]
我们令原式为 \(F\)。
而
\[f(j)-f(i)=(j-i)k+(a_j'-a_i')
\]
则
\[\begin{align*}
F&=\sum_{1 \le l<r \le n} \sum_{l \le i<j \le r} [f(j)-f(i)]\\
&=\sum_{1 \le l<r \le n} \sum_{l \le i<j \le r} [(j-i)k+(a_j'-a_i')]\\
&=k\sum_{1 \le l<r \le n} \sum_{l \le i<j \le r}(j-i)+\sum_{1 \le l<r \le n} \sum_{l \le i<j \le r}(a_j'-a_i')\\
\end{align*}
\]
方便计算，记
\[S=\sum_{1 \le l<r \le n} \sum_{l \le i<j \le r} (j-i)
\]
\[T=\sum_{1 \le l<r \le n} \sum_{l \le i<j \le r} (a_j'-a_i')
\]
则
\[F=k \cdot S+T。
\]
下面分别计算 \(S\) 和 \(T\)。
化简 \(S\)
注意到 \(S\) 为恒定常数。
对于固定的 \(i<j\)，其在区间 \([l,r]\) 中出现当且仅当 \(l \le i\) 且 \(j \le r\)，共有
\[i \cdot (n-j+1)
\]
个区间，则
\[S=\sum_{1 \le i<j \le n} i(j-i)(n-j+1)。
\]
记 \(d=j-i\)，则 \(j=d+i\)，从而
\[S=\sum_{d=1}^{n-1}\sum_{i=1}^{n-d} id(n-i-d+1)。
\]
把 \(d\) 从第二个 \(\sum\) 中提出来：
\[S=\sum_{d=1}^{n-1} d \cdot \sum_{i=1}^{n-d}i(n-i-d+1)。
\]
记 \(m=n-d\)，则第二个 \(\sum\) 为
\[\sum_{i=1}^m i(m-i+1)=\frac16 m(m+1)(m+2)
\]
于是
\[S=\frac16\sum_{d=1}^{n-1}d(n-d)(n-d+1)(n-d+2)。
\]
化简 \(T\)
同上一部分，可交换求和顺序并化简
\[T=\sum_{1 \le i<j \le n} i(a_j'-a_i')(n-j+1)。
\]
拆开
\[T=\sum_{1 \le i<j \le n} i(n-j+1) \cdot a_j'-\sum_{1 \le i<j \le n} i(n-j+1) \cdot a_i'。
\]
对于第一个 \(\sum\)，固定 \(j\) 对于 \(i<j\) 求和
\[\sum_{i=1}^{j-1} i(n-j+1) \cdot a_j'=\frac12 j \cdot a_j'(j-1)(n-j+1)。
\]
对于第二个 \(\sum\)，固定 \(i\) 对于 \(j>i\) 求和
\[\begin{align*}
\sum_{j=i+1}^n i(n-j+1) \cdot a_i'&=i \cdot a_i'\sum_{j=i+1}^n (n-j+1)\\
&=\frac12 i \cdot a_i'(n-i)(n-i+1)。
\end{align*}
\]
于是
\[\begin{align*}
T&= \sum_{i=1}^n a_i'[\frac12 i(i+1)(n-i+1)-\frac12 i(n-i)(n-i+1)]\\
&=\sum_{i=1}^n a_i'[\frac12i(n-i+1)(i+1-n+i)]\\
&=\frac12\sum_{i=1}^ni \cdot a_i'(n-i+1)(2i-n-1)。
\end{align*}
\]
记
\[w_i=\frac12 i(n-i+1)(2i-n-1)
\]
则
\[T=\sum_{i=1}^n a_i'w_i。
\]
最大化 \(T\)
已知 \(\{a_i'\}\) 是 \(\{a_i\}\) 的一个重排，即每个数值 \(v\in[1,k]\) 在 \(a'\) 中出现的次数等于它在 \(a\) 中出现的次数 \(c_v\)。
由排序不等式：要使 \(\sum w_i a_i'\) 最大，应将 \(a_i'\) 按与 \(w_i\) 相同的顺序排列，即 \(w_i\) 越大，分配的 \(a_i'\) 也应越大。
因此我们按 \(w_i\) 降序排序索引，同时将可用的数值（从大到小，每个值 \(v\) 有 \(c_v\) 份）依次赋给这些位置。
code
#include <bits/stdc++.h>
#define pub public:
#define pri private:
#define fri friend:
#define Ofile(s) freopen(s".in", "r", stdin), freopen (s".out", "w", stdout)
#define Cfile(s) fclose(stdin), fclose(stdout)
#define fast ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);
using namespace std;
using ll = long long;
using ull = unsigned long long;
using i128 = __int128;
using ui128 = unsigned __int128;
using lb = long double;
using pii = pair<int, int>;
using pll = pair<ll, ll>;
using pil = pair<int, ll>;
using pli = pair<ll, int>;
constexpr int mod = 998244353;
constexpr int maxn = 1e5 + 5;
constexpr int maxk = 1e6 + 5;
ll n, k, cur_val, r, out, total;
i128 S, T, tmp, ans;
ll sum[maxk], idx[maxn];
i128 w[maxn];
void print_unsigned(ui128 t){
if (t >= 10)
print_unsigned(t / 10);
putchar('0' + t % 10);
}
void print(i128 t){
if (t < 0){
putchar('-');
ui128 tmpp = -(ui128)t;
print_unsigned(tmpp);
}
else if (!t)
putchar('0');
else
print_unsigned((ui128) t);
}
int main() {
freopen("contest.in", "r", stdin);
freopen("contest.out", "w", stdout);
cin >> n >> k;
for (int i = 1, x; i <= n; i++)
cin >> x, sum[x]++;
for (ll d = 1; d <= n - 1; d++){
tmp = (i128)d * (n - d) * (n - d + 1) * (n - d + 2) / 6;
S += tmp;
}
S *= k;
for (ll i = 1; i <= n; i++)
w[i] = (i128)i * (n - i + 1) * (2 * i - n - 1) / 2;
for (int i = 1; i <= n; i++)
idx[i] = i;
sort(idx + 1, idx + n + 1, [&](int x, int y) {
return w[x] > w[y];
});
cur_val = k;
while (cur_val >= 1 && sum[cur_val] == 0)
cur_val--;
r = sum[cur_val];
for (ll i = 1; i <= n; i++){
if (total >= n) break;
ll pos = idx[i];
T += w[pos] * cur_val;
total++;
r--;
while (!r && cur_val > 1)
cur_val--, r = sum[cur_val];
}
ans = S + T;
print(ans);
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号