前言
这是我和盟友两位五年级蒟蒻合作的数论合集第二篇文章，大佬们不喜勿喷，感谢您的收看。
多位数表示
我们在数学学习生活中，经常碰到需要把一个数表示出来，如果位数已知，例如八位数：
\[\overline{abcdefgh}
\]
但如果位数未知，最简单粗暴的方法就是表示成这样：
\[\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}\dots a_1a_0}
\]
但是 但凡上过小学的都知道 在十进制下，第 \(i\) 位的位值为 \(10^{i-1}\)，所以，一个 \(n+1\) 位数在十进制下还可以表示成这样：
\[\sum_{i=0}^{n}10^ia_i
\]
推广到 \(k\) 进制，我们就可以表示为
\[\sum_{i=0}^{n}k^ia_i
\]
这件事情尤为重要，将会应用在我接下来要讲述的知识点里。
多位数拆分与构造
前置芝士
我们知道
\[\underset{k个9}{\underbrace{99\dots9}}
\]
可以表示为
\[10^k-1
\]
那么
\[\forall 1 \le i \le 9,\overline{\underset{k个i}{\underbrace{ii\dots i}}}
\]
可以表示为
\[\frac{i}{9} \cdot (10^k-1)
\]
那么接下来这道题对你来说应该不是问题。
例题一
题目
求证：
\[\underset{k个4}{\underbrace{44\dots4}}\underset{k-1个8}{\underbrace{88\dots8}}9
\]
一定是一个完全平方数。
根据上面的芝士，可以将上面的数按三个部分进行拆分配方。
证
证：
\[\begin{align*}
&\space\underset{k个4}{\underbrace{44\dots4}}\underset{k-1个8}{\underbrace{88\dots8}}9\\
&=10^k \cdot \frac{4}{9}(10^k-1)+10 \cdot \frac{8}{9}(10^{k-1}-1)+9\\
&=\frac{1}{9}[(10^k\times4)(10^k-1)+2 \times40(10^{k-1}-1)+9]\\
&=\frac{1}{9}(4\cdot10^{2k}+4\cdot10^k+1)\\
&=\frac{1}{9}(2\times10^k+1)^2\\
&=[\frac{1}{3}(2\times10^k+1)]^2
\end{align*}
\]
又
\[3 \mid 2 \times 10^k+1
\]
故
\[\frac{1}{3}(2\times10^k+1)\in\mathbb{Z}
\]
所以
\[\underset{k个4}{\underbrace{44\dots4}}\underset{k-1个8}{\underbrace{88\dots8}}9=[\frac{1}{3}(2\times10^k+1)]^2
\]
是完全平方数，证毕。
接下来这道题也同理。
例题二
题目
求证：
\[19\mid 120\underset{n个3}{\underbrace{33\dots3}}08
\]
类似地，可以把这个数拆开，证每一个部件都是 \(19\) 的倍数即可。
证
\[\begin{align*}
&\because120\underset{n个3}{\underbrace{33\dots3}}08\\
&=120\times10^{n+2}+\frac{1}{3}(10^n-1)\times10^2+8\\
&=\frac{1}{3}[36\times10^{n+2}+10^2(10^n-1)+24]\\
&=\frac{1}{3}(361\times10^{n+2}-76)\\
&=\frac{1}{3}(19^2\times10^{n+2}-19\times4)\\
&=\frac{19}{3}(19\times10^{n+2}-4)
\end{align*}
\]
且
\[3 \mid 19\times10^{n+2}-4
\]
故
\[19 \mid 120\underset{n个3}{\underbrace{33\dots3}}08
\]
证毕。
下面我们来看看多位数的构造问题。
例题三
题目
构造一个平方数恰好以 \(2021\) 个 \(9\) 开头。
会做这题你先要会幼儿园就会的找规律。
这题还是不难的，首先我们知道
\[\begin{cases}
9^2=81\\
99^2=9801\\
999^2=998001\\
\dots\\
\underset{k个9}{\underbrace{99\dots9}}^2=\underset{k-1个9}{\underbrace{99\dots9}}8\underset{k-1个0}{\underbrace{00\dots0}}1
\end{cases}
\]
那么这题构造
\[\underset{2022个9}{\underbrace{99\dots9}}^2=\underset{2021个9}{\underbrace{99\dots9}}8\underset{2021个0}{\underbrace{00\dots0}}1
\]
就可以了。
解
解：构造：
\[\begin{align*}
&\underset{2022个9}{\underbrace{99\dots9}}^2\\
&=\underset{2022个9}{\underbrace{99\dots9}} \times \underset{2022个9}{\underbrace{99\dots9}}\\
&=\underset{2022个9}{\underbrace{99\dots9}} \times (10^{2022}-1) \\
&=\underset{2022个9}{\underbrace{99\dots9}} \times 10^{2022}-\underset{2022个9}{\underbrace{99\dots9}}\\
&=\underset{2021个9}{\underbrace{99\dots9}}8\underset{2021个0}{\underbrace{00\dots0}}1
\end{align*}
\]
下面看一个不一样的题目。
例题四
题目
构造一个平方数的数字和为 \(2020\)。
首先我们知道，一个数的数字和除以 \(9\) 的余数和本身除以 \(9\) 的余数相同，注意到数字和为 \(2020\)，我们令原数为 \(x\)，则
\[x \equiv 4 \pmod{9}
\]
\[\Rightarrow x \equiv \pm2 \pmod{9}
\]
即
\[x \equiv 2 \text{ 或 } 7 \pmod{9}
\]
根据这个构造列方程即可（不是 dp 动态转移方程）。
解
\[\begin{align*}
\because (10^n-3)^2&=10^{2n}-6\times10^n+9\\
&=\underset{n-1个9}{\underbrace{99\dots9}}4\underset{n-1个0}{\underbrace{00\dots0}}9
\end{align*}
\]
故只需
\[9n+4=2020
\]
解得
\[n=224。
\]
数位分析
前置芝士
美味的芝士
\(m\) 位数乘 \(n\) 位数的乘积的位数为 \(m+n-1\) 或 \(m+n\)。
这个不难理解，读者有兴趣的话可以自己列个竖式模拟一下，最前面一位进位的话就是 \(m+n\)，不进位就是 \(m+n-1\)，这件事对解决下面的题解有很大的帮助。
芝士真好吃。
例题一
题目
求将 \(2^{2022}\) 与 \(5^{2022}\) 用十进制表示的总位数。
可以相乘分析。
解
设 \(2^{2022}\) 有 \(m\) 位数，\(5^{2022}\) 有 \(n\) 位数，则
\[\begin{cases}
10^{m-1}<2^{2022}<10^m\\
10^{n-1}<5^{2022}<10^n\\
\end{cases}
\]
\[\therefore 10^{x+y-2}<10^{2022}<10^{x+y}
\]
故
\[x+y-1=2022
\]
\[\Rightarrow x+y=2023
\]
即共有 \(2023\) 位。
例题二
题目
一个 \(n\) 位数的立方是 \(m\) 位数，求证：\(n+m \ne 2001\)。
可以把这个数设为 \(x\)，观察 \(m+n\) 对 \(4\) 的余数。
证
证：设这个 \(n\) 位数为 \(x\)，则
\[10^{n-1} \le x<10^n
\]
\[\therefore 10^{3n-3} \le x^3<10^{3n}
\]
于是
\[m=3n-2,3n-1,3n
\]
\[\Rightarrow m+n=4n-2,4n-2,4n
\]
\[\therefore m+n \ne 2001。
\]
证毕。
例题三
题目
已知 \(9^{4000}\) 是一个 \(3817\) 位数，且首位数字为 \(9\)，求 \(\forall 1 \le n \le 4000,9^n\) 中有多少个数字的首位数字为 \(9\)。
可以从进位的角度考虑，由于 \(9\) 这个数字的特殊性，只有上一个 \(9^n\) 的首位为 \(1\)，且乘 \(9\) 不进位下一个 \(9^{n+1}\) 的首位才能是 \(9\)。
解
\(\because\) 从 \(9\) 到 \(9^{4000}\) 中位数增加了 \(3817-1=3816\) 位。
\(\therefore 9^2\) 至 \(9^{4000}\) 有 \(3816\) 个的首位不是 \(9\)。
\(\therefore\) 共有 \(4000-3816=184\) 个首位为 \(9\)。
证毕。
习题
留几道关于首位数字的习题。
基础题
存在一些正整数 \(n\)，使得 \(2^n\) 和 \(5^n\) 在十进制表示下的首位数字相同，求所有这样的首位数字。
小挑战
求证：\(17^n,17^{n+1},17^{n+2},17^{n+3},17^{n+4}\) 中至少有一个在十进制中首位数码为 \(1\)。
位值原理方程
前置芝士
我们在做题时，经常需要把一个多位数表示出来，最直接的方法就是设成
\[\sum_{i=0}^{m}10^ia_i
\]
但是如果几个数为在整个等量关系中相对位置没有发生任何变化，就应该将它们看作一个整体，例如
\[5 \times \overline{abcdef} = 8 \times \overline{defabc}
\]
就应该设
\[\overline{abc}=x,\overline{def}=y
\]
整个问题中未知数的个数就可以减少至 \(2\) 个。
例题一
题目
求一个最小的自然数，使得将它的末尾数字移至首位时，所得的数是原数的五倍。
可以考虑把各位数字表示出来，列方程，运用整除 分块 求解。
解
设这个数为 \(10x+y\)，其中 \(y\) 为个位，\(x\) 有 \(k\) 位。
则
\[10^ky+x=5(10x+y)
\]
整理得
\[49x=(10^k-5)y
\]
\[\because y<10
\]
\[\therefore 49 \nmid y
\]
\[\therefore 7 \mid 10^k-5
\]
于是
\[k_{min}=5
\]
代入得
\[49x=99995y
\]
\[\therefore 7x=14285y
\]
故
\[7 \mid y \Rightarrow y=7
\]
\[\therefore x=14285
\]
故原数为 \(142857\)。
例题二
题目
设 \(n\) 是一个五位数，\(m\) 为 \(n\) 删去它正中间的一位数码后得到的四位数，若 \(m \mid n\)，求这样 \(n\) 的个数。
由于 \(n\) 是五位数，可以把每一位分别设出来类似地，可以使用整除 分块 解答。
解
解：设
\[n=\overline{abcde},m=\overline{abde}
\]
\[\because m \mid n
\]
\[\therefore 100 \overline{ab}+\overline{de} \mid 1000 \overline{ab}+100c+ \overline{de}
\]
\[\therefore 100\overline{ab}+\overline{de} \mid 100c-\overline{de}
\]
而
\[{-}\overline{abde}<-900<100c-9\overline{de}\le900<\overline{abde}
\]
\[\therefore 100c=9\overline{de}
\]
故
\[\begin{cases}
c=0\\
\overline{de}=0
\end{cases}
\]
\[\therefore 100\overline{ab} \mid 1000 \overline{ab}
\]
恒成立，故所有两位数 \(\overline{ab}\) 均满足条件，共
\[99-10+1=90
\]
个。
例题三
题目
求所有的正整数满足：它的数码和加上它的数码积正好等于它本身。
这个题就需要把整个数设出来了，再进行数学归纳法。
解
设这个正整数为
\[\sum_{i=0}^n10^ia_i(n \in \mathbb{N})
\]
共 \(n+1\) 位。
则
\[\sum_{i=0}^{n}10^ia_i=\sum_{i=0}^{n}a_i+\prod_{i=0}^{n}a_i
\]
\[\therefore 10^na_n<\sum_{i=0}^{n}10^ia_i=\sum_{i=0}^{n}a_i+\prod_{i=0}^{n}a_i\le 9n+a_n+9^na_n
\]
下证：当 \(n \ge 2\) 时，
\[10^n \ge 9^n+9n+1
\]
证：
\(1^\circ\) 当 \(n=2\) 时，
\[10^2=9^2+9\times2+1
\]
命题成立。
\(2^\circ\) 若 \(n=k\) 时命题成立，即
\[10^k\ge9^k+9k+1
\]
则 \(n=k+1\) 时，
\[10^{k+1}\ge10\cdot9^k+90k+10\ge9^{k+1}+9k+10
\]
命题也成立。
\(\therefore\) 由数学归纳法，原命题成立，即
\[\therefore n=1 \Rightarrow 10a_1+a_0=a_1a_0+a_1+a_0
\]
\[\therefore 9a_1=a_1a_0
\]
\[\therefore
\begin{cases}
a_0=9\\
1 \le a_1 \le 9
\end{cases}
\]
故满足条件的多位数有
\[19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99。
\]
::::
例题四
题目
试找 \(4\) 个百位相同的三位数，使得其中有 \(3\) 个整除它们的和。
可以把 \(4\) 个三位数被 \(S\) 除的商为 \(a_1,a_2,a_3,a_4\)，和为 \(S\)，再使用多元有序对称枚举即可。
解
解：设和为 \(S\)，\(4\) 个三位数为
\[\frac{S}{a_i},1 \le i \le 4
\]
且 \(a_1<a_2<a_3\) 均为整数，百位均为 \(b\)，则
\[\therefore \sum_{i=1}^4\frac{S}{a_i}=S
\]
\[\because S \ne 0
\]
\[\therefore \sum_{i=1}^4\frac{1}{a_i}=1
\]
引：
\[\forall 1\le i,j\le4,\frac{a_i}{a_j}=\frac{\frac{S}{a_i}}{\frac{S}{a_j}}<\frac{100(b+1)}{b}=\frac{b+1}{b}<2
\]
枚举：
\(1^\circ \space a_1=2\) 则 \(a_2 \ge 3,a_3\ge4=2a_1\) 矛盾。
\(2^\circ \space a_1=3\) 则 \(3<a_2<a_3<6\)，故 \(a_2=4,a_3=5\)，
\[a_4=(1-\frac1 3-\frac1 4-\frac1 5)^{-1}=\frac{60}{13}
\]
又
\[\frac{S}{3},\frac{S}{4},\frac{S}{5},\frac{13S}{60}\in\mathbb{Z}
\]
\[\therefore 60 \mid S
\]
又由于百位相同，于是
\[\frac{S}{3}-\frac{S}{5}<100
\]
\[\therefore S<750
\]
又
\[S\ge400b
\]
故
\[b=1,\frac{S}{3}<200,\frac{S}{5}>100
\]
\[\therefore 500<S<600
\]
\[\therefore S=540
\]
\(3^\circ\space a_1\ge4,a_2\ge5,a_3\ge6\)，此时
\[a_4\le(1-\frac14-\frac15-\frac16)^{-1}=\frac{60}{23}
\]
\[\therefore a_3>2a_4
\]
矛盾。
综上，满足条件的三位数为 \(180, 135, 108, 117\)。
习题
基础题
试求所有的正整数 \(A\)，满足：
在 \(A\) 的右端多写三位数，使得所得到的数等于由 \(1\) 到 \(A\) 的所有正整数之和。
小挑战
一个多位数的数字和是它数字和的 \(111\) 倍，求这个多位数。
提示
表示出来后先数学归纳法证明
\[10^n>999(n+1)
\]
然后同余方程解决。
其他进制
话不多说，咱直接上题目，因为进制这种东西 OIer 应该都知道。
例题一
题目
求证；
\[\forall n \ge 2, n \in \mathbb{N},\exists k \in \mathbb{Z},(10201)_n=k^2
\]
直接转换成十进制即可。
证
\[\begin{aligned}
(10201)_n&=n^4+2n^2+1\\
&=(n^2+1)^2
\end{aligned}
\]
证毕。
简单的题就不多说了，最后再来看一道稍有难度的题目。
例题二
题目
定义 \(r(n)\) 是对于正整数 \(n\) 的一个函数，满足
\[\begin{cases}
r(1)=1\\
r(2m)=r(m)\\
r(2m+1)=r(m)+1
\end{cases}
\]
已知 \(1 \le k \le 10000\)，求 \(r(k)\) 的最大值。
通过手搓 样例 递推式可以发现，\(r(k)\) 其实就是二进制下 \(k\) 的数字和，第二数学归纳法证明即可。
解
下证：设 \(s(n)\) 为二进制下 \(n\) 的数字和，则 \(r(n)=s(n)\)。
证：\(1^\circ\) 当 \(n=1\) 时，\(r(1)=s(1)=1\)，命题成立。
\(2^\circ\) 若 \(n\le k\) 时，命题成立，即 \(\forall 1 \le n \le k,r(n)=s(n)\)，则 \(n=k+1\) 时，考虑分类讨论：
\((1) k+1 \equiv 0 \pmod{2}\)，则
\[r(k+1)=r\left(\frac{k+1}{2}\right)
\]
由归纳假设，
\[r\left(\frac{k+1}{2}\right)=s\left(\frac{k+1}{2}\right)
\]
又
\[s(k+1)=s\left(\frac{k+1}{2}\right)
\]
\[\therefore r(k+1)=s(k+1)
\]
\((2)k+1 \equiv 1 \pmod{2}\)，则
\[r(k+1)=r\left(2\cdot\frac{k}{2}+1\right)=r\left(\frac{k}{2}\right)+1
\]
由归纳假设，
\[r\left(\frac{k}{2}\right)=s\left(\frac{k}{2}\right)
\]
又
\[s\left(\frac{k}{2}\right)=s(k)
\]
\[\therefore r(k+1)=s(k+1)
\]
综上，由数学归纳法，原命题成立，即
\[\forall n \in \mathbb{Z},r(n)=s(n)
\]
\[\because 2^{14}-1>10000
\]
\[\therefore r(k)<14
\]
又由于当 \(k=2^{13}-1=8191\) 时，\(r(k)=13\)，故 \(r(k)\) 的最大值为 \(13\)。
习题
基础题
已知整数 \(n\)，满足：它的 \(b\) 进制表示为 \(777\)，求整数 \(b\) 的最小值，使得 \(n\) 是十进制整数的 \(4\) 次方。
小挑战
在 \(6\) 进制中有三位数 \(\overline{abc}\)，化为 \(9\) 进制为 \(\overline{cba}\)，求这个三位数在十进制表示下为多少？
后记
原创不易，点个赞再走吧~~
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