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下次能不能不要出这种大分讨，硬控我 \(50\) 分钟。

注意到每个选手剩下的场次里只有一场比赛，于是其最终的胜场只能为 \(A_i\) 或 \(A_i+1\)，从而最大胜场最多只能为 \(M+1\)，其中 \(M=\max A_i\)。如果 \(A_i \le M-2\)，那么永远也不能成为冠军（那你剩下场次就别打了，节省时间），因此我们只关心：

• \(H\) 型：\(A_i=M\)；
• \(L\) 型：\(A_i=M-1\)；
• \(O\) 型：\(A_i \le M-2\)。

对于每一对 \((2i-1,2i)\) 进行分类，pair[i] 表示玩家 \(i\) 所配对的类型（这里就是一个小分讨）。

定义

\[G(n,k)=\mathbb E\left[\frac{1}{k+\operatorname{Bin}(n,\frac12)}\right] \]

其中 \(\operatorname{Bin}(n,\frac12)\) 表示二项分布，展开得

\[G(n,k)=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\left(\frac12\right)^n \frac{1}{k+i} \]

在模意义下可以 \(O(n)\) 计算。

接下来就是真正的大分讨。

若存在 \(H\)-\(H\) 对，此时必然存在一个 \(H\) 玩家获胜，最终最大胜场必为 \(M+1\)，冠军只能来自赢得比赛的 \(H\) 玩家。

• 若某 \(H\) 玩家位于 \(H\)-\(H\) 对中，其获胜概率为 \(\dfrac12\)。若赢，则所有 \(H\)-\(H\) 对共产生 \(hh\) 个玩家，其余 \(hl+ho\) 个其他含 \(H\) 对赢家数量为 \(Y \sim \operatorname{Bin}(hl+ho,\frac12)\)；
• 若某 \(H\) 玩家位于 \(H\)-\(O\) 或 \(H\)-\(L\) 对中，其获胜概率为 \(\dfrac12\)。若赢，则其余 \(H\)-? 对赢家数量为 \(Y' \sim \operatorname{Bin}(hl+ho-1,\frac12)\)，因此概率为

\[\frac12 G(hl+ho-1,hh+1) \]

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若不存在 \(H\)-\(H\) 对，记事件 \(E_0\) 表示所有 \(H\) 玩家都输，则其概率为

\[p_0=\left(\frac12\right)^{hl+ho} \]

在事件 \(E_0\) 下，最终最大胜场为 \(M\)，冠军候选人为：

• 所有 \(H\) 玩家；
• 所有获胜的 \(L\) 玩家。

在 \(L\) 玩家中：

• \(H\)-\(L\) 对中的 \(L\) 玩家在假设前提下必赢，贡献为 \(hl\)；
• \(L\)-\(L\) 对必有一个 \(L\) 玩家获胜，贡献为 \(ll\)；
• \(L\)-\(O\) 对中赢家数为 \(Z \sim \operatorname{Bin}(lo,\frac12)\)。

因此候选总数为

\[k=2hl+ho+ll+Z \]

记事件 \(E_1\) 表示至少一个 \(H\) 玩家赢，最大胜场为 \(M+1\)，冠军仅从获胜的 \(H\) 玩家中选出。

对于 \(H\) 玩家：

• 若其在 \(E_0\) 中是冠军候选人，贡献为 \(p_0 \cdot G(lo,2hl+lo+ll)\)；
• 在 \(E_0\) 下，若该玩家赢，则候选数为 \(1+Y'\)，贡献为 \(\dfrac12 G(hl+ho-1,1)\)。

故 \(H\) 玩家总概率为

\[p_0 \cdot G(lo,2hl+lo+ll)+\frac12 G(hl+ho-1,1) \]

对于 \(L\) 玩家：

• 若其位于 \(H\)-\(L\) 对，该 \(L\) 在 \(E_0\) 下必为候选人，概率为 \(p_0 \cdot G(lo,2hl+lo+ll)\)；
• 若其位于 \(L\)-\(L\) 对，该 \(L\) 在 \(E_0\) 下获胜成为候选人的概率为 \(\dfrac12\)，总概率为 \(p_0 \cdot \dfrac12 G(lo,2hl+lo+ll)\)；
• 若其位于 \(L\)-\(O\) 对
  • 若赢，对 \(Z\) 的贡献为 \(+1\)，其余 \(lo-1\) 对贡献 \(Z' \sim \operatorname{Bin}(lo-1,\frac12)\)，从而概率为 \(p_0 \cdot \dfrac12 G(lo-1,2hl+lo+ll-1)\)。

这样我们就完成了这道题的分类讨论！！

Submission。