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摘要： 定义 若曲线C上的点M沿着曲线无限远地远离原点时，点M与某一直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线C的渐进线。 1、水平渐进线和铅直渐进线 若 则曲线y=f(x)有水平渐进线y=b 若 则曲线y=f(x)有铅直渐进线x=x0 2、斜渐进线 若 则曲线y=f(x)有斜渐进线y=kx+b 阅读全文

摘要： 给定一个周期为T的函数f(x),那么它可以表示成无穷级数： 其中Cn满足： 特别的，若f(x)的周期为2π,则可展开成如下形式： 其中 若f(x)的周期为2L时 其展开式与周期为2π时相同 an,bn表达式为 阅读全文

摘要： 在求解幂级数的和函数时，会遇到下列情况： 其中P(n)为n的n阶多项式。这种情况可以将P(n)变形，使其可以被消去，从而便于求解。 例： 求幂级数： 的和函数。 解： 将n^3+2化为(n^3-n)+(n+1)+1，使得原式变形为： 则原级数化为： 则和函数S(x)为： 阅读全文

摘要： 若矩阵A与矩阵B均为n阶方阵，则A与B相似的充要条件为： 1、A与B的特征值相同。 2、λE-A与λE-B等价。 3、tr(A)=tr(B)。 4、|A|=|B|。 阅读全文

摘要： 已知顶点M(m,n,p)和准线C的方程： 计算其锥面方程的方法如下： 设点P(x0,y0,z0)在准线C上，则可得过MP的直线方程： 将直线方程与准线方程联立，得： 消去x0,y0,z0即可得到锥面方程。 示例： 已知顶点为原点，准线方程为： 求其锥面方程。 解： 设点M(x0,y0,z0)在准线上 阅读全文

摘要： 设曲线Γ： 绕直线L： 旋转形成一个曲面，求曲面方程的过程如下： 设直线上一点M0(x0,y0,z0)和向量s(m,n,p)，在母线Γ上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过M1的纬圆上任意一点P(x,y,z)满足条件： 则 与方程F(x1,y1,z1)=0和G(x1,y1,z1)联立消去x1,y1 阅读全文

摘要： 将线性无关的向量组正交化在很多场合中需要使用到，这里给出一般的正交化方法。 设向量组a1,a2,...,am是向量空间Rn的一组线性无关的向量组，若令 ... 则b1,b2,...,bm为一个正交向量组，且与向量组a1,a2,...,am等价。 阅读全文

摘要： 采用拉格朗日配方法将二次型转化为标准型的方法较为复杂，且不利于计算高阶二次型。因此这里给出二次型化标准型的正交变换法。 正交变换法步骤： 1、将二次型表达为矩阵形式f=x^TAx，求出矩阵A。 2、求出A的所有特征值λ1,λ2,...,λn。 3、求出对应于特征值的特征向量a1,a2,...,an。 阅读全文

摘要： 在计算二型曲线/曲面积分时，若曲线/曲面积分与路径/形状无关则会大大减少计算量。下面给出二型曲线/曲面积分与路径/形状无关性的定理。 平面曲线积分 设函数P(x,y)和Q(x,y)在区域D内可微，且满足下列条件： 则曲线积分： 其积分值在区域D内与路径l无关。 空间曲线积分 设函数P(x,y,z), 阅读全文

摘要： 在实际计算中经常会用到梯度、散度和旋度。在此，我记录一下它们的计算公式。 梯度： 设函数f(x,y)在区域D上存在一阶偏导数，则对于某一个点P(x0,y0)均有梯度grad f(x0,y0). 设函数f(x,y,z)在区域Ω上存在一阶偏导数，则对于某一个点P(x0,y0,z0)均有梯度grad f( 阅读全文