星空暗流

摘要： 下面的题目均来自于单墫先生的《[初中数学指津——代数的魅力与技巧](http://book.douban.com/subject/26279862/)》。## 基本不等式> $$(a-b)^2\geq 0,\qquad a^2+b^2\geq 2ab,\qquad (a+b)^2\geq 4ab.$... 阅读全文

摘要： 主要是组合学方面的 "Coloring between the lines" 彭翕成教授的 "博客" "The Math forum" "The Erdös Number Project" Xida的 "博客" 面向优秀高中生的数学项目 "PROMYS" 主要关于数学、物理和哲学的 "博客" K.C 阅读全文

摘要： 题目来自于朱尧辰教授的《[怎样证明三角恒等式（第2版）](http://book.douban.com/subject/25899679/)》。### 题目 证明：如果 \[\frac{\cos^3\theta}{\cos \alpha}+\frac{\sin^3\theta}{\sin \alph... 阅读全文

摘要： 下面的例子均来自于单墫先生的《[初中数学指津——代数的魅力与技巧](http://book.douban.com/subject/26279862/)》。* 解方程：\(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+x}}}}=x\). 若直接多次平方，那会非常麻烦的。我们按照形... 阅读全文

摘要： 单墫先生在《[初中数学指津——代数的魅力与技巧](http://book.douban.com/subject/26279862/)》的17节提出了一个问题：> **设 $A$ 是一个 $m$ 项式, $B$ 是一个 $n$ 项式（$m$, $n$ 都是大于 $1$ 的自然数）. 在合并同类项后，乘... 阅读全文

摘要： [《因式分解技巧》，单墫著](http://book.douban.com/subject/1501705/)因式分解应当分解到“底”，即应当把多项式分解为既约（不可约）多项式的乘积。怎样算“既约”，这要由分解所在的数域决定。例如， $x^2-3$ 没有有理根，因而不能分解为两个有理系数的一次因式的... 阅读全文

摘要： "《因式分解技巧》，单墫著" 先来看几个代数式：$xy$, $x+y$, $x^2y+xy^2$, $xy+yz+xz$, $x^3+y^3+z^3$. 交换这些式子中的任意两个字母，式子不变。我们把这样的式子叫做 对称式 。 再看几个式子：$x^2y+y^2z+z^2x$, $xyz$, $xy^ 阅读全文

摘要： [《因式分解技巧》，单墫著](http://book.douban.com/subject/1501705/)这里主要讨论整系数的四次多项式。根据高斯引理，一个整系数多项式如果能分解为两个有理系数的因式之积，那么它必定可分解为两个整系数的因式之积。所以我们直接考虑有没有整系数因式就可以了。## 二次... 阅读全文

摘要： [《因式分解技巧》，单墫著](http://book.douban.com/subject/1501705/)## 余数定理我们用$f(x)$表示多项式 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$，用 $f(a)$ 表示多项式在 $x=a$ 时的值。例如， $f(... 阅读全文

摘要： 在给出柯召定理及其证明之前，我们先给出两个引理以备后用。## 引理1> **（Nagell定理, 1921）若正整数 $x$, $y$ 以及奇素数 $q$ 满足等式 $x^2-y^q=1$, 则必有 $2|y$, $q|x$.**## 引理2>设 $a$, $b$ 互素, $p$ 是素数, 则： >... 阅读全文