一道三角函数题

题目来自于朱尧辰教授的《怎样证明三角恒等式（第2版）》。

题目

证明：如果 [\frac{\cos^3\theta}{\cos \alpha}+\frac{\sin^3\theta}{\sin \alpha}=1,]
那么 [\left(\frac{\cos \alpha}{\cos\theta}-\frac{\sin \alpha}{\sin\theta}\right)\left(\frac{\cos \alpha}{\cos\theta}+\frac{\sin \alpha}{\sin\theta}+1\right)=0.]

解答

• 用 \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\) 代替 \(1\): [\frac{\cos^3\theta}{\cos \alpha}+\frac{\sin^3\theta}{\sin \alpha}=\sin^2\alpha+\cos2\alpha.]
  于是 [\frac{\cos^3\theta}{\cos \alpha}-\cos^2\alpha=\sin2\alpha-\frac{\sin^3\theta}{\sin \alpha},]
  因此 [\frac{\cos^3\theta-\cos3\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sin^3\alpha-\sin3\theta}{\sin\alpha}. \qquad (1)]

• 同样地, 用 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta\) 代替 \(1\):
  [\frac{\cos^{3\theta-\cos\alpha\cos}2\theta}{\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha\sin^2\theta-\sin3\theta}{\sin\alpha}. \qquad (2)]

• 将 \((1), (2)\) 两式相除可得
  [\frac{\cos^3\theta-\cos3\alpha}{\cos^{3\theta-\cos\alpha\cos}2\theta}=\frac{\sin^3\alpha-\sin3\theta}{\sin\alpha\sin^2\theta-\sin3\theta}.]
  利用因式分解化简一下有
  [\frac{\cos^{2\theta+\cos\theta\cos\alpha+\cos}2\alpha}{\cos^{2\theta}=\frac{\sin}2\alpha+\sin\alpha\sin\theta+\sin^{2\theta}{\sin}2\theta},]
  即
  [\frac{\cos\alpha}{\cos\theta}+\frac{\cos^{2\alpha}{\cos}2\theta}=\frac{\sin^{2\alpha}{\sin}2\theta}+\frac{\sin\alpha}{\sin\theta}.]
  将待证等式的右边展开可得到上式, 于是结论成立.