多项式乘积的项数

单墫先生在《初中数学指津——代数的魅力与技巧》的17节提出了一个问题：

设 \(A\) 是一个 \(m\) 项式, \(B\) 是一个 \(n\) 项式（\(m\), \(n\) 都是大于 \(1\) 的自然数）. 在合并同类项后，乘积 \(AB\) 最多有多少项？
最少有多少项？请说明理由，并给出实例.

在未合并同类项之前，\(AB\) 最多有 \(mn\) 项，因此合并之后项数最多只能是 \(mn\)。
一个例子：\(A=1+x+\cdots+x^{m-1}\), \(B=1+x^m+x^{2m}+\cdots+x^{(n-1)m}\), 则 \(AB\) 恰好有 \(mn\) 项.

乘积 \(AB\) 最少有两项. \(A\) 的最低项与 \(B\) 的最低项的乘积一定是 \(AB\) 仅有的最低项, 故不能与其他项合并. 同理, 两者的最高项的乘积仍是最高项, 且不能与其他项合并.
一个例子： \(A=1-x\), \(B=1+x+\cdots+x^{n-1}\), 则 \(AB=1-x^n\).

第二个例子比第一个例子要弱一点. 对于任意的 \(m\), \(n\), 第一个例子都是有效的. 但第二个例子只对 \(m=2\) 有效. 对于一般的 \(m\), \(n\), 是否存在第二种例子？单墫现在没在书里提及，不知是答案太复杂，还是这个问题目前仍未得到解决.