因式分解技巧——多项式的一次因式

《因式分解技巧》，单墫著

余数定理

我们用\(f(x)\)表示多项式 \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\)，用 \(f(a)\) 表示多项式在 \(x=a\) 时的值。例如， \(f(x)=x^3+6\)，则 \(f(1)=7\),\(f(-1)=5\)。

如果我们用一次多项式 \(x-c\) 去除\(f(x)\)，则余式就是一个数：$$f(x)=(x-c)g(x)+r.$$
令 \(x=c\)，则依据上式可得 \(f(c)=r\), 即 $$f(x)=(x-c)g(x)+f(c).$$
这就是所谓的余数定理。

我们关心的是因式分解，即要求余数为 \(0\). 所以很自然地有结论：

如果 \(f(c)=0\)，那么 \(x-c\) 是 \(f(x)\) 的因式；反之，若 \(x-c\) 是 \(f(x)\) 的因式，那么 \(f(c)=0\)。

• 分解因式：\(f(x)=x^3+6x^2+11x+6\).
  观察系数可以得到 \(f(-1)=0\), 所以 \(x-(-1)=x+1\) 是它的一次因式。做个除法即可得到 \(f(x)=(x+1)(x^2+5x+6)\). 接着用十字相乘法可得

\[f=(x+1)(x+2)(x+3)$$. ## 有理根的求法 如果 $f(c)=0$，那么就说 $c$ 是多项式 $f(x)$ 的根。如果能求出根来，那我们就得到了一个一次因式 $x-c$。那怎么求根呢？ 我们假定 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ 是整系数多项式，且 $c=\frac{p}{q}$ 是 $f(x)$ 的根，这里 $p, q$ 是互素的整数。 因为 $f(c)=0$, 所以 $$a_n(\frac{p}{q})^n+\cdots+a_1(\frac{p}{q})+a_0=0.\]

两边同乘 \(q^n\) 即可得到 $$a_np^n+a_{n-1}pq+\cdots+a_1pq^{n-1}+a_0qn=0.$$
观察各项中的因式可以看出 \(q|a_n\), \(p|a_0\). 于是我们就有

有理根 \(c=\frac{p}{q}\) 的分子 \(p\) 是常数项 \(a_0\) 的因数， 分母 \(q\) 是首项系数 \(a_n\) 的因数.

• 分解因式：\(f(x)=2x^3-x^2-5x-2\).
  \(a_0=-2\) 的因数有 \(\pm 1\), \(\pm 2\)，\(a_n=2\) 的因数有 \(\pm 1\), \(\pm 2\)。因此 \(f(x)\) 的有理根只可能是 \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm \frac{1}{2}\).
  因为 \(f(-1)=0\), 所以 \(f(x)\) 有一次因式 \(x+1\).

• 分解因式：\(f(x)=3x^3+x^2+x-2\).
  \(a_0=-2\) 的因数有 \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(a_n=3\) 的因数有 \(\pm 1\), \(\pm 3\), 所以 \(f(x)\) 的有理根只可能是 \(\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm \frac{1}{3}\), \(\pm \frac{2}{3}\).
  因为 \(f(\frac{2}{3})=0\), 所以 \(x-\frac{2}{3}\) 是 \(f(x)\) 的因式，从而 \(3x-2\) 是 \(f(x)\) 的因式。最后我们有

\[f=(3x-2)(x^2+x+1). \]

首一多项式

若多项式的首项系数为 \(1\)，那么问题更简单了，这时候多项式的有理根都是整根。

• 分解因式：\(x^6+2x^5+3x^4+3x^2+2x+1\).
  这个式子的有理根只可能是 \(\pm 1\). 经检验， \(-1\) 是一个根，所以原式有因式 \(x+1\), 即

\[f=(x+1)(x^5+x^4+2x^3+2x^2+x+1):=(x+1)g(x). \]

易知 \(-1\) 也是 \(g(x)\) 的根， 即

\[g=(x+1)(x^2+1)^2. \]

于是 $$f=(x+1)^2(x2+1)^2$$

• 分解因式：\(x^3-\frac{5}{3}x^2-\frac{11}{3}x-1\).
  这个式子不是整系数多项式，但我们可以将其变为整系数多项式，然后再用前面的方法。最后可得 $$f=\frac{1}{3}(x+1)(x-3)(3x+1).$$

字母系数

• 分解因式：\(x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ac)x-abc\).
  常数项 \(-abc\) 的因式有 \(\pm a\), \(\pm b\), \(\pm c\), \(\pm ab\), \(\pm ac\), \(\pm bc\), \(\pm abc\).
  经验算可得， \(a\) 是原式的根， 所以 \(x-a\) 是原式的因式， 于是有

\[f=(x-a)(x^2-(b+c)x+bc)=(x-a)(x-b)(x-c). \]

这里再提一个小结论，在猜想根的时候比较便捷：

如果多项式的系数之和为 \(0\), 那么 \(1\) 是多项式的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，那么 \(-1\) 就是多项式的根。