因式分解技巧——实数域与复数域上的分解
因式分解应当分解到“底”，即应当把多项式分解为既约（不可约）多项式的乘积。怎样算“既约”，这要由分解所在的数域决定。例如， \(x^2-3\) 没有有理根，因而不能分解为两个有理系数的一次因式的乘积，即在有理数域上 \(x^2-3\) 是既约多项式。若将其放在实数域内考虑，因为 \(x^2-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\), 所以 \(x^2-3\) 不是实数域上的既约多项式。
前面我们的讨论都是在有理数域上进行的。 下面我们看看实数域和复数域上的分解。
求根公式
一次多项式永远是既约的。
关于 \(x\) 的二次三项式 \(ax^2+bx+c\) 在复数域上的因式分解非常简单：根据求根公式 $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
我们就得到一个分解 $$ax^2+bx+c=a\left(x-\frac{-b+ \sqrt{b2-4ac}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b-\sqrt{b2-4ac}}{2a}\right). \qquad (1)$$
在实数域上，若 \(b^2-4ac\geq 0\), \((1)\) 就是一个分解；若 \(b^2-4ac<0\), 那么 \(ax^2+bx+c\) 就是实数域上的一个既约多项式。
如果 \(b^2-4ac\) 不是有理数的平方，那么 \(ax^2+bx+c\) 就是有理数域上既约多项式。如果 \(b^2-4ac\) 是有理数的平方，那么 \(ax^2+bx+c\) 就可以分解。当然，这时候用十字相乘法更方便。
- 分解因式：\(2x^2-3x-7\).
因为 \(b^2-4ac=65>0\), \(65\) 不是有理数的平方，所以 \(2x^2-3x-7\) 是有理数域上的既约多项式。但在实数域和复数域上，它是可以分解的：
- 分解因式：\(2x^2-3x+7\).
因为 \(b^2-4ac=-47<0\), 所以 \(2x^2-3x+7\) 是实数域上的既约多项式。在复数域上它可分解为
- 分解因式：\(2x^2-3x-2\).
因为 \(b^2-4ac=25\) 是有理数的平方，所以原式可在有理数域上分解。利用十字相乘也可以得到结果
代数基本定理
在复数域上，每个形如 \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\) \((n>0)\) 的多项式至少有一个根。
由此可以很自然的得到
\(n\) 次多项式 \(f(x)\) 恰好有 \(n\) 个根.
这只是一个理论上的结果，具体操作起来还是很麻烦的。
单位根
根据代数基本定理，方程 \(x^3-1=0\) 有三个根，我们把 \(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\) 记作 \(\omega\). 明显的有 \(\omega^2+\omega+1=0\).
一个小结论：如果三次单位根 \(\omega\) 是 \(f(x)\) 的根，那么根据复根配对可知 \(x^2+x+1\) 就是 \(f(x)\) 的因式。
- 分解因式：\(x^5+x^4+x^2+x+2\).
经验证可知 \(\omega\) 是原式的一个根，于是原式有因式 \(x^2+x+1\)。因此原式可在有理数域上分解为
