几个涉及基本不等式的题目

下面的题目均来自于单墫先生的《初中数学指津——代数的魅力与技巧》。

基本不等式

\[(a-b)^2\geq 0,\qquad a^2+b^2\geq 2ab,\qquad (a+b)^2\geq 4ab. \]

题1

已知实数 \(a\), \(b\), \(c\) 满足
[\begin{cases}a^2-a-bc+1=0,\ 2a^2-2bc-b-c+2=0.\end{cases}]
求证：\(a\geq 1\).

证明

下式减去上式的两倍, 可得 \(2a=b+c\), 于是
[4a^2=(b+c)2\geq 4bc.]
根据上式有
[bc=a^2-a+1.]
结合上面两个式子有
[a^2\geq a^2-a+1 \quad \Longrightarrow \quad a\geq 1.]

题2

设实数 \(a\), \(b\), \(c\) 满足
[\begin{cases}a+b+c=0, \ abc=1.\end{cases}]
求证：\(a\), \(b\), \(c\) 中必有一个大于 \(\frac{3}{2}\).

证明

由下式可得三数中必有正数，不妨设 \(c> 0\).
根据给出的两式可得
[\frac{1}{c}=ab\leq \frac{1}{4}(a+b)^{2=\frac{1}{4}c}2,]
所以 [c^3\geq 4 \quad \Longrightarrow \quad c\geq \sqrt[3]{4}>\frac{3}{2}.]

从论证来看, 我们可以得到更好的估计.

题3

设实数 \(a\), \(b\), \(c\) 满足
[a+b+c=2]
并且对任意实数 \(t\) 都有不等式
[-t^2+2t\leq ab+bc+ca\leq 9t^2-18t+10.]
求证：\(0\leq a,b,c\leq \frac{4}{3}\).

证明

若 \(-t^2+2t=9t^2-18t+10\), 则 \(t=1\). 所以我们取 \(t=1\) 则有
[ ab+bc+ca=1. ]
再根据题意有
[ a+b=2-c. ]
所以
[(2-c)^2=(a+b)2\geq 4ab=4(1-bc-ca)=4-4c(2-c).]
解不等式可得
[3c^2-4c\geq 0 \quad \Longrightarrow \quad 0\leq c\leq \frac{4}{3}.]
至于 \(a\), \(b\) 的情形同理可得.

题4

设实数 \(a\), \(b\), \(c\) 满足
[\begin{cases}a+b+c=10, \qquad (1)\ abc-23a=40. \qquad (2)\end{cases}]
并且 \(a\geq b\geq c\).

求 \(|a|+|b|+|c|\) 的最小值.

解答

由 \((1)\) 可得三数中必有正数. 因为 \(a\) 最大, 所以 \(a\) 是正数.
因为 $$4abc\leq 4a(b+c)^2=a(10-a)2,$$
所以 $$4(10+23a)\leq a(10-a)^2.$$
整理得 $$(a-20)(a^2+8)\geq 0.$$
即有 $$a\geq 20.$$
再因为 \(b+c=10-a\leq -10\), 所以 $$|b+c|\geq 10.$$
于是

\[|a|+|b|+|c|=a+|b|+|c|\geq a+|b+c|\geq 20+10=30. \]

当 \(a=20\), \(b=c=\frac{1}{2}\times (-10)=-5\) 时, \(|a|+|b|+|c|\) 取最小值 \(30\).