随笔分类 - 数学
摘要：\(f(x) = x\) 或 \(f(x) \equiv 1\) 显然成立，我们考虑是否存在其他的函数。 注意到 \(a = b\) 时，原条件等价于： \[a^a \equiv f(a)^{f(a)} \equiv 0\pmod{f(a)} \]故 \(f(a) \mid a^a\)。 设 \(a
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摘要：记 \(\nu_p(n)\) 表示 \(n\) 的标准分解中素数 \(p\) 的幂次，即 \(p^{\nu_p(n)} \parallel n\)。 该引理分为两部分：设 \(a, \, b\) 为不等正整数且 \(p \mid a - b\)，\((p, \, ab) = 1\), 若 \(p\)
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摘要：考虑 \(n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}~(p_1 < p_2 < \cdots < p_k)\)，由于除自身外还有 \(3\) 个因子，故满足 \(\alpha_1 \ge 2\) 或 \(k \ge 2\)。 考虑最大的
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摘要：注意到 \(2025 = 45 \times 45\)，我们考虑能不能按根号分块，我们呈阶梯状摆放，在 \((\sqrt{n}, \, 1), \, (2\sqrt{n}, \, 2), \, \cdots, \, (n, \, \sqrt{n})\) 的位置放上一个空，接下来向上每一层将 \(x\
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摘要：考虑 \(n = 3\) 时的下三角，显然有三个容易构造的解，\(k = \{0, \, 1, \, 3\}\)，构造如下： 那么 \(n > 3\) 呢？由于下三角的点数恰好为 \(1 + 2 + \cdots + n\) 个点，对于第一条直线，有且仅有 \(3\) 中方式覆盖 \(n\) 个点，
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摘要：题面 题解 这个题显然不是让你直接去干，所以我们尝试分讨来慢慢找规律。 \(3\) 个点以下的时候，显然无解，欧氏空间不存在三个直角的等边三角形，也不存在全是直角的线段。 \(4\) 个点的时候，正方形是最显然的解。这个解是唯一的，具体可以考虑构造一个直角，边上的两个点必然需要在其垂平面内寻找下一个
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摘要：定理 奇素数 \(p\) 可以表示为两个正整数的平方和当且仅当 \(p \equiv 1 \pmod 4\)，且这两个正整数是唯一的。 part 1 引用 Don Zagier 在 1990 年论文中的证明方式： 已知质数 \(p = 4k + 1\)，考虑所有满足 \(x^2 + 4yz = p\
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摘要：常函数、幂函数、指数函数 \[\int kdx = kx + C \, (k \in C) \]\[\int x^adx = \frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C \, (a \neq -1) \]\[\int \frac{dx}{x} = \ln{\lvert x \rvert}
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摘要：本博客仅做个人经验性总结，非学习笔记，是在学习完两者后做的一个区分。 相似矩阵 定义 在一组基 \(C = (c_1, c_2, \ldots, c_n)\) 下，向量 \(s = (s_1, s_2, \ldots, s_n)^T\) 具有坐标 \(x = (x_1, x_2, \ldots, x
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摘要：今天才知道这几个定理，网上没搜到证明方式，别人不会证那我就证明一下。 定理1： \[\gcd(a^m - 1, a^n - 1) = a^{\gcd(m, n)} - 1 \] 证明： 根据 \(\gcd\) 具有 \(\gcd(a, b) = \gcd(a - b, b)\) 的性质，不妨设 \(
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摘要：在 \(n!\) 的唯一分解中，对于质数 \(p\)，记 \(L_p(n!)\) 为素数 \(p\) 的最高指数，这里的 \(L_p(n!)\) 为勒让德函数。 勒让德定理： \[L_p(n!) = \sum_{k \ge 1}\bigg\lfloor\frac{n}{p^k}\bigg\rfloo
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摘要：基本知识 狄利克雷卷积 定义在数论函数（在 \(\mathbb{Z_+}\) 上定义的函数）之间的一种二元运算。 定义： \[(f * g)(n) = \sum_{xy=n}f(x)g(y) = \sum_{d \mid n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right) \]常见函数
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摘要：关于这个性质由一个问题引入： 已知两椭圆曲线 \(E_p, ~ E_q(p, ~ q \in \mathbb P)\) 的阶，\(n = pq\)，求 \(E_n\) 的阶。 首先，我们明确几个概念： \(\mathbb{Z}_n\)：表示模 \(n\) 的整数环，即所有整数对 \(n\) 取模后的
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