IMO2025 Problem 4

考虑 \(n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}~(p_1 < p_2 < \cdots < p_k)\)，由于除自身外还有 \(3\) 个因子，故满足 \(\alpha_1 \ge 2\) 或 \(k \ge 2\)。

考虑最大的真因子一定为 \(\dfrac{n}{p_1}\)，其另外两个次大真因子有以下几种可能：

• \(\dfrac{n}{p_2}\) 和 \(\dfrac{n}{p_3}\)

• \(\dfrac{n}{p_2}\) 和 \(\dfrac{n}{p_2^2}\)

• \(\dfrac{n}{p_1^2}\) 和 \(\dfrac{n}{p_2}\)

• \(\dfrac{n}{p_1^2}\) 和 \(\dfrac{n}{p_1^3}\)

• \(\dfrac{n}{p_2}\) 和 \(\dfrac{n}{p_1p_2}\)

我们逐个分析上述可能性构造出的下一个数满足什么性质：

不妨设这些因子是 \(\dfrac{n}{w_1}, \, \dfrac{n}{w_2}, \, \dfrac{n}{w_3}\)，令 \(n' = \gcd{\left(\dfrac{n}{w_1}, \, \dfrac{n}{w_2}, \, \dfrac{n}{w_3}\right)}\)。

1. \(\dfrac{n}{p_2}\) 和 \(\dfrac{n}{p_3}\)
   显然下一个数 \(a = n'(p_2p_3 + p_1p_3 + p_1p_2)\)，而 \((p_2p_3 + p_1p_3 + p_1p_2, \, p_1) = (p_2p_3, \, p_1) = 1\)，对 \(p_2, \, p_3\) 均同理，所以这种情况下一个数最小的三个质因子 \(p_1, \, p_2, \, p_3\) 的次数会 \(-1\)。

2. \(\dfrac{n}{p_2}\) 和 \(\dfrac{n}{p_2^2}\)
   显然下一个数 \(a = n'(p_2^2 + p_1p_2 + p_1)\)，而 \((p_2^2 + p_1p_2 + p_1, \, p_1) = (p_2^2, \, p_1) = 1\)，并且 \((p_2^2 + p_1p_2 + p_1, \, p_2) = (p_1, \, p_2) = 1\)，所以这种情况下一个数 \(p_1\) 的次数 \(-1\)，\(p_2\) 的次数 \(-2\)。

3. \(\dfrac{n}{p_1^2}\) 和 \(\dfrac{n}{p_2}\)
   和 2. 点同理，这种情况下一个数 \(p_1\) 的次数 \(-2\)，\(p_2\) 的次数 \(-1\)。

4. \(\dfrac{n}{p_1^2}\) 和 \(\dfrac{n}{p_1^3}\)
   显然下一个数 \(a = n'(p_1^2 + p_1 + 1)\)，而 \((p_1^2 + p_1 + 1, \, p_1) = 1\)，这种情况下一个数 \(p_1\) 的次数会 \(-3\)。

5. \(\dfrac{n}{p_2}\) 和 \(\dfrac{n}{p_1p_2}\)
   显然下一个数 \(a = n'(p_1 + p_2 + 1)\)，此时：

   • \((p_1 + p_2 + 1, \, p_2) = (p_1 + 1, \, p_2)\)，当且仅当 \(p_2 + 1 = p_1\) 即 \(p_1 = 2, \, p_2 = 3\) 时结果为 \(p_2\)，否则为 \(1\)。
   • \((p_1 + p_2 + 1, \, p_1) = (p_2 + 1, \, p_1)\)，当且仅当 \(p_1 \mid p_2 + 1\) 时结果为 \(p_1\)，否则为 \(1\)。
     不难计算出，下一个数 \(p_1\) 的次数要么不变要么 \(-1\)，\(p_2\) 的次数要么不变要么 \(-1\)。

其中，减少三个质因子次数最多只会增加两个比它们大的质因子次数，证明显然，由无穷递缩可知产生循环的不是前 \(4\) 个条件，为了使得数列的项数无限，只用考虑 5. 的情况。

如果 \(p_1\) 或 \(p_2\) 的次数减少，同样由无穷递缩性质可知，状态 5. 一定会被破坏，所以 \(p_1\) 和 \(p_2\) 的次数维持不变，这告诉我们 \(p_1 = 2, \, p_2 = 3\) 始终存在 \(n\) 中。

进入状态 5. 的充要条件显然是最后循环的数不含质因子 \(5\) 且 \(2\) 的次数为 \(1\)，否则 \(p_1p_2 = 6 > 5 > p_1^2 = 4\) 会进入状态 1. 或状态 3.，故最后所有 \(n\) 中至少包含因子 \(6\)。

另一方面，可能通过其余 \(4\) 种状态进入状态 5. 的必要条件是 \(p_1\) 的次数大于等于 \(2\)，则唯一的可能性是 \(p_1 = 2 < p_2 = 3 < p_1^2 = 4\)，即状态 \(3\)，因此符合条件的 \(n\) 可以含有因子 \((2^2 \times 3)^k = 12^k\)，其余的因子不做限制，只需满足上面的条件即可。

综上，我们可以得知所有符合条件的 \(n = 6 \cdot 12^k c\)，其中 \(2 \nmid c\) 且 \(5 \nmid c\)。