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摘要： 题目连接 You are given two integers \(n\) and \(m\). For a sequence of \(n\) integers \(A=(a_1, a_2, \ldots, a_n)\), the parallel sums of \(A\) are the \( 阅读全文

摘要： 题面描述 music 喜欢玩扑克牌！ 现在有 \(n\) 张牌从上至下组成一个牌堆，从上数第 \(i\) 张牌上的点数为 \(a_i\)。 有 \(m\) 位玩家一起玩扑克牌，music 是第 \(k\) 名玩家。所有玩家需要按 \(1,2,\dots,m\) 的顺序，依次从上至下摸牌。 music 阅读全文

摘要： 我们定义 \(r(a_1, \, a_2, \, \cdots, \, a_n)\) 为广义 Ramsey 数，其含义为在大小为 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) 的完全图内给边染至多 \(n\) 种颜色，至少存在一个 \(K_{a_1}\) 是同色或存在一个 \(K_{a_ 阅读全文

摘要： Aru loves playing card games (Poker, Texas hold 'em, Balatro, etc.) and she has perfected the art of shuffling cards, especially the riffle shuffle. S 阅读全文

摘要： \(f(x) = x\) 或 \(f(x) \equiv 1\) 显然成立，我们考虑是否存在其他的函数。 注意到 \(a = b\) 时，原条件等价于： \[a^a \equiv f(a)^{f(a)} \equiv 0\pmod{f(a)} \]故 \(f(a) \mid a^a\)。 设 \(a 阅读全文

摘要： 记 \(\nu_p(n)\) 表示 \(n\) 的标准分解中素数 \(p\) 的幂次，即 \(p^{\nu_p(n)} \parallel n\)。 该引理分为两部分：设 \(a, \, b\) 为不等正整数且 \(p \mid a - b\)，\((p, \, ab) = 1\), 若 \(p\) 阅读全文

摘要： 哎哎，死在这题了，没想到求面积用外积，想到外积这道题就没什么难度了。 枚举一个 \(k\) 边形，其面积可以由逆时针排序的 \(k\) 点确定为： \[S = \sum_{i = 0}^{k - 1}(x_iy_{(i + 1) \bmod k} - x_{(i + 1) \bmod k}y_i) 阅读全文

摘要： 考虑 \(n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}~(p_1 < p_2 < \cdots < p_k)\)，由于除自身外还有 \(3\) 个因子，故满足 \(\alpha_1 \ge 2\) 或 \(k \ge 2\)。 考虑最大的 阅读全文

摘要： 注意到 \(2025 = 45 \times 45\)，我们考虑能不能按根号分块，我们呈阶梯状摆放，在 \((\sqrt{n}, \, 1), \, (2\sqrt{n}, \, 2), \, \cdots, \, (n, \, \sqrt{n})\) 的位置放上一个空，接下来向上每一层将 \(x\ 阅读全文

摘要： 考虑 \(n = 3\) 时的下三角，显然有三个容易构造的解，\(k = \{0, \, 1, \, 3\}\)，构造如下： 那么 \(n > 3\) 呢？由于下三角的点数恰好为 \(1 + 2 + \cdots + n\) 个点，对于第一条直线，有且仅有 \(3\) 中方式覆盖 \(n\) 个点， 阅读全文