随笔分类 - 编码理论
摘要：https://docs.qq.com/pdf/DV2V2dUxjaVBnTU9E
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摘要：一些记号和准备 对于任意实数 \(\delta \in (0,1)\) 和一族 $ q $ 元码 \(\mathcal{C}=\{C\}\)，其码长 $ n:=n(C) \to \infty $ 且最小距离 $ d(C) $ 满足 \[\lim _{n \rightarrow \infty} \fr
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摘要：对于有限域 \(\boldsymbol{F}_q\) 上的线性编码 $ C $，我们用 \(n(C)\) 、 \(k(C)\) 和 \(d(C)\) 分别表示 \(C\) 的长度、维数和最小距离。令 $U_q^{\text{lin}} $ 表示所有有序对 \((\delta, R) \in \bol
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摘要：代数闭域 定义 1 代数封闭 如果域\(k\)上的每一个多项式在\(k[x]\)中至少有一个根，则称\(k\)是代数封闭的。 例如， \(\mathbb{F}_2\)不是代数封闭的，因为\(x^2 + x + 1\)在\(\mathbb{F}_2\)上是不可约的。同样地， \(\mathbb{Q}\
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摘要：\(RS(k,q):=\{f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_q)|f\in L_{k-1}\}\) 。（\(L_{k-1}\)是\(\mathbb{F}_q[x]\)上次数小于等于\(k-1\)的多项式集合）对于不同的\(f\) ，像这样的赋值映射天然是线性映射，所以我们可以考
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摘要：有限域上的幂级数环 属于 \(\boldsymbol{F}_q\) 的一个无限序列 \[f=\left(f_0, f_1, \cdots, f_n, \cdots\right), \]它对应出一个系数属于 \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{q}}\) 的幂级数 \[f(x)=f_0
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摘要：主要参考：冯克勤《有限域上的代数曲线:理论和通信应用》 在此之前我们已经介绍了纠错码，我们把原始信息编成更长的码字后进行传输，目的是用来纠正信息传输过程中信道产生的错误，这是信息处理的一种方式。事实上，还有不少其他的目的需要对原始信息加以处理, 比如在大数据时代, 为了降低数据的存贮量, 我们需要把
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摘要：局部修复码 设 \(C\) 是 \(\mathrm{F}_q\) 上参数为 \((n, K, d)\) 的纠错码, 则它有纠正 \(\left[\frac{d-1}{2}\right]\) 位错误的能力. 也就是说, 若码字 \(c=\left(c_1, \cdots, c_n\right) \in
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摘要：在本节中，我们将编码理论与代数几何的知识结合起来，描述 Goppa 对代数几何编码（Algebraic Geometry Codes, AG Codes）的构造。为了避免混淆，在本章中，字母\(C\)将专用于表示编码，而字母\(X\)将用于表示曲线。此外，我们始终在有限域\(\mathbb{F}_q
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摘要：现在介绍循环码的又一种刻画方式。 定义 1 设 \(C\) 是以 \(g(x)\) 为生成式的 \(q\) 元循环码, 则 \(g(x)\) (在 \(\mathrm{F}_q\) 的扩域中)的根也叫作循环码 \(C\) 的根。 以下设 \(C\) 的码长 \(n\) 与 \(q\) 互素。这时,
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摘要：我们在本节研究有限域上多项式的一些性质。 所有系数属于 \(\mathrm{F}_q\) 的单变量多项式 \[f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0 \quad\left(a_i \in \mathrm{F}_q\right) \]全体组成的集合记
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摘要：定理 1 有限域的元素个数必为 \(q=p^m\), 其中 \(p\) 是素数, \(m\) 为正整数. 证明：特征一定是素数，作为素域的有限扩域，可看成素子域上的有限维线性空间。\(\square\) 定理 2 \(~q=p^m\) 元有限域 \(F\) 的非零元素全体形成的乘法群 \(F^{\t
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摘要：用移位循环的方式构作码我们已经见过很多次(例如例$1.2.6$、定理$2.4.1$等等),这让我们感到需要对这类码进行系统的研究。本节我们介绍循环码的一种看待方式————视作商环$R=\mathrm{F}_q[x] /\left(x^n-1\right)$的元素,并且把集合$\mathrm{F}_q
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摘要：本章介绍一类二元线性码, 它是由里德 $(Reed)$ 和米勒$(Muller)$ 于 $1954$ 年独立给出的,今后简记为 $\mathrm{RM}$ 码. 这种二元线性码的构造需要布尔函数的一些知识. 定义 1 设 \(m\) 为正整数. 一个 \(m\) 元布尔函数 \(f=f\left(x
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