3.1.3 Liu 的改进

一些记号和准备

对于任意实数 $\delta \in (0,1)$ 和一族 $ q $ 元码 $\mathcal{C}=\{C\}$，其码长 $ n:=n(C) \to \infty $ 且最小距离 $ d(C) $ 满足

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{d(C)}{n}=\delta \]

我们定义

\[R(\mathcal{C})=\limsup _{n \rightarrow \infty} \frac{\log _q|C|}{n} \]

文献 [5] 证明，对于任意整数 $ q \geq 2 $，存在一个连续且非增函数 $\alpha_q(\delta)$，使得对于任意一族满足

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{d(C)}{n}=\delta \]

的 $ q $ 元码 $\mathcal{C}=\{C\}$，均有

\[R(\mathcal{C}) \leq \alpha_q(\delta) \]

此外，对于任意 $\delta \in [0,1]$，存在一族 $ q $ 元码 $\mathcal{C}_1=\left\{C_1\right\}$，其码长 $ n_1:=n\left(C_1\right) \to \infty $，且最小距离 $ d\left(C_1\right) $ 满足

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{d\left(C_1\right)}{n}=\delta \]

使得

\[R\left(\mathcal{C}_1\right)=\alpha_q(\delta) \]

设 $\mathcal{X} / \mathbb{F}_q$ 是一个亏格为 $g$ 的代数曲线。我们用 $\mathcal{X}(\overline{\mathbb{F}}_q)$ 表示在代数闭包 $\overline{\mathbb{F}}_q$ 上的所有点的集合。对于 $m \geq 1$，用 $\mathcal{X}(\mathbb{F}_{q^m})$ 表示 $\mathcal{X}$ 在 $\mathbb{F}_{q^m}$ 上的所有有理点的集合，即

\[\mathcal{X}(\mathbb{F}_{q^m})=\left\{P \in \mathcal{X}(\overline{\mathbb{F}}_q): P^\sigma=P \text{ 对于所有 } \sigma \in \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_q / \mathbb{F}_{q^m})\right\} \]

就是由 $\sigma(x)=x^{q^m}$ 生成的全部自同构

我们称 $\mathcal{X}(\mathbb{F}_{q^m})$ 中的点为 $\mathbb{F}_{q^m}$-有理点。特别地，$\mathbb{F}_q$-有理点简称为有理点。我们用 $N_m(\mathcal{X})$ 表示 $\mathcal{X}(\mathbb{F}_{q^m})$ 的数目。

我们用 $\mathbb{F}_q(\mathcal{X})$ 表示 $\mathcal{X}/\mathbb{F}_q$ 的函数域，其中的元素称为函数。

$\mathcal{X}$ 的除子 $D$ 具有形式

\[D=\sum_{P \in \mathcal{X}(\overline{\mathbb{F}}_q)} n_P P \]

其中 $n_P \in \mathbb{Z}$，且仅有有限个 $n_P$ 非零。我们将 $\operatorname{supp}(D)$（支撑集）定义为

\[\operatorname{supp}(D)=\{P \in \mathcal{X}(\overline{\mathbb{F}}_q) : n_P \neq 0\}. \]

我们用 $\nu_P(D)$ 表示整数 $n_P$，其中 $\nu_P$ 表示对应于点 $P$ 的离散赋值。

$D$ 的次数定义为

\[\deg(D) = \sum_{P \in \mathcal{X}(\overline{\mathbb{F}}_q)} n_P. \]

在有些文献中 $\deg(D) = \sum_{P \in \mathcal{X}(\overline{\mathbb{F}}_q)} n_P\dot degP$ ,这是因为把零点分类成素除子(点类),同一个素除子中的点都用这个素除子代替,并不把像这里一样所有点都写到除子表达式里。但是注意，如果按照别的文献的写法，考虑不同的基域的时候，素除子(点类)是会变化的。

如果对所有 $P$ 都有 $n_P \geq 0$，则称 $D$ 为非负除子。此外，如果至少有一个 $n_P > 0$，则称 $D$ 为正除子。

如果 $D$ 满足对所有 $\sigma \in \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_q / \mathbb{F}_q)$ 都有

\[D^\sigma=\sum_{P \in \mathcal{X}(\overline{\mathbb{F}}_q)} n_P P^\sigma=D, \]

则称 $D$ 为 $\mathbb{F}_q$-有理（或称简单有理）除子。

最简单的情形就是 $D$ 只由有理点构成。

对于每个点 $P \in \mathcal{X}(\mathbb{F}_{q^m}) \setminus \bigcup_{i=1}^{m-1} \mathcal{X}(\mathbb{F}_{q^i})$，定义除子

\[\sum_{i=0}^{m-1} P^{\pi^i}, \]

其中 $\pi$ 是 $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_q / \mathbb{F}_q)$ 的弗罗贝尼乌斯映射，定义为 $\alpha \mapsto \alpha^q$。显然，$\sum_{i=0}^{m-1} P^{\pi^i}$ 是次数为 $m$ 的正有理除子，称为素除子。

对于素除子 $Q$ 和函数 $f \in \mathbb{F}_q(\mathcal{X})$，对于 $Q$ 内的任意两个点 $P_1, P_2$，有

\[\nu_{P_1}(f) = \nu_{P_2}(f). \]

在此情况下，我们用 $\nu_Q(f)$ 代替 $\nu_{P_1}(f)$。同样地，对于素除子 $Q$ 和 $\mathcal{X}$ 上的有理除子 $D$，有

\[\nu_{P_1}(D) = \nu_{P_2}(D). \]

在此情况下，我们用 $\nu_Q(D)$ 代替 $\nu_{P_1}(D)$。

对于 $\mathbb{F}_q(\mathcal{X})$ 的非零函数 $x$，我们用 $\operatorname{div}(x)$ 表示 $x$ 的主除子。任意主除子的次数均为 0。我们用 $\operatorname{Div}^0(\mathcal{X})$ 表示所有次数为 0 的有理除子的集合，则其构成一个阿贝尔群。此外，我们用 $\operatorname{Prin}(\mathcal{X})$ 表示 $\mathcal{X}$ 上所有主除子的集合，则 $\operatorname{Prin}(\mathcal{X})$ 是 $\operatorname{Div}^0(\mathcal{X})$ 的一个子群。商群

\[\operatorname{Div}^0(\mathcal{X}) / \operatorname{Prin}(\mathcal{X}) \]

称为 $\mathcal{X}$ 的雅可比群（Jacobian）。该商群是有限群，其阶 $\left|\operatorname{Div}^0(\mathcal{X}) / \operatorname{Prin}(\mathcal{X})\right|$ 称为除子类数，记作 $h(\mathcal{X})$（若无歧义，可简记为 $h$）。

如果两个除子 $D_1, D_2$ 满足

\[D_1 \sim D_2 \iff D_1 - D_2 \in \operatorname{Prin}(\mathcal{X}), \]

则称它们等价，记作 $D_1 \sim D_2$。显然，等价的两个除子具有相同的次数。

对于一个有理除子 $D$，我们定义向量空间

\[\mathcal{L}(D) = \left\{x \in \mathbb{F}_q(\mathcal{X}) \setminus \{0\} : \operatorname{div}(x) + D \geq 0\right\} \cup \{0\}. \]

这是一个有限维的 $\mathbb{F}_q$-向量空间。

一个简单的计算引理：

引理 1

设 $\epsilon>0$ 是一个小实数，$\delta_0 \in (0,0.5)$ 是下列方程的解：

\[H_2(\delta) \log_q 2 = \frac{1}{\sqrt{q}-1} - \frac{1}{q^{1.5+2\epsilon}} + \left(1-\frac{1}{q^{0.5+\epsilon}}\right) \log_q \frac{q}{q-1}. \]

则对于所有充分大的 $q$，有

\[\frac{1}{\sqrt{q}} < \delta_0 < \frac{1}{2}. \]

$\delta_0$ 的存在性已在证明中给出.

证明：由于 $H_2(\delta) \log_q 2$ 在区间 $(0,0.5)$ 内是单调递增的，因此只需证明

事实上 $p(x)=H_2(x)log_q 2=-x log_q x-(1-x) log_q (1-x),p^{\prime}(x)=log_q(\frac{1}{x}-1)$

\[H_2\left(\frac{1}{\sqrt{q}}\right) \log_q 2 < \frac{1}{\sqrt{q}-1} - \frac{1}{q^{1.5+2\epsilon}} + \left(1-\frac{1}{q^{0.5+\epsilon}}\right) \log_q \frac{q}{q-1} \]

以及

\[H_2\left(\frac{1}{2}\right) \log_q 2 = \frac{1}{\log_2 q} > \frac{1}{\sqrt{q}-1} - \frac{1}{q^{1.5+2\epsilon}} + \left(1-\frac{1}{q^{0.5+\epsilon}}\right) \log_q \frac{q}{q-1}. \]

第二个不等式显然成立。为了证明第一个不等式，我们考虑

\[\begin{aligned} H_2\left(\frac{1}{\sqrt{q}}\right) \log_q 2 &= -\frac{1}{\sqrt{q}} \log_q \frac{1}{\sqrt{q}} - \left(1-\frac{1}{\sqrt{q}}\right) \log_q \left(1-\frac{1}{\sqrt{q}}\right) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{q}} + \frac{1}{\sqrt{q} \ln q} + o\left(\frac{1}{q}\right) \\ &< \frac{1}{\sqrt{q}-1} - \frac{1}{q^{1.5+2\epsilon}} + \left(1-\frac{1}{q^{0.5+\epsilon}}\right) \log_q \frac{q}{q-1} \end{aligned} \]

对所有充分大的 $q$ 成立。证毕。

论文的主要结果是：

定理 2

设 $\epsilon>0$ 为一个小实数，$\delta_0 \in(0,0.5)$ 为引理 $1$ 中方程的解。那么对于任意 $\delta \in\left(0, \delta_0\right)$，有

\[\alpha_q(\delta) \geq 1-\delta-\frac{1}{\sqrt{q}-1}+\Omega\left(\frac{1}{q^{1.5+\epsilon}}\right) \]

对所有充分大的 $q$（其中 $q$ 是素数的偶次幂）成立。

推论 3 实质性改进

设 $\epsilon>0$ 为一个小实数，$\delta_0 \in(0,0.5)$ 为引理 $1$ 中方程的解。存在一个区间 $\left(\delta_1, \delta_0\right)$ 满足 $0<\delta_1<\delta_0<1/2$，使得

\[\alpha_q(\delta)>\max \left\{1-H_q(\delta), 1-\delta-\frac{1}{\sqrt{q}-1}+\log_q\left(1+\frac{2}{q^3}\right)\right\} \]

对所有 $\delta \in\left(\delta_1, \delta_0\right)$ 及所有充分大的 $q$（其中 $q$ 是素数的偶次幂）成立。

证明：对于充分大的 $q$，我们有

\[1-\delta-\frac{1}{\sqrt{q}-1}+\Omega\left(\frac{1}{q^{1.5+\epsilon}}\right)>1-\delta-\frac{1}{\sqrt{q}-1}+\log_q\left(1+\frac{2}{q^3}\right) \]

在整个区间 $(0,1)$ 内均成立。因此，我们只需证明

\[1-\delta-\frac{1}{\sqrt{q}-1}>1-H_q(\delta) \]

对所有 $\delta \in\left(\delta_1, \delta_0\right)$ 成立，即

\[H_q(\delta)>\delta+\frac{1}{\sqrt{q}-1}. \]

考虑

\[\begin{aligned} H_q\left(\delta_0\right)-\delta_0-\frac{1}{\sqrt{q}-1} &= \delta_0 \log_q(q-1)+H_2\left(\delta_0\right) \log_q 2-\delta_0-\frac{1}{\sqrt{q}-1} \\ &= -\delta_0 \log_q \frac{q}{q-1}-\frac{1}{q^{1.5+2\epsilon}}+\left(1-\frac{1}{q^{0.5+\epsilon}}\right) \log_q \frac{q}{q-1} \\ &\geq -\frac{1}{q^{1.5+2\epsilon}}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{q^{0.5+\epsilon}}\right) \log_q \frac{q}{q-1} \\ &= \frac{1}{2q \ln q}-o\left(\frac{1}{q \ln q}\right)>0. \end{aligned} \]

事实上，在 $(0,\frac{1}{2})$ 内 $H_q(x)-x$ 严格递减，$H_q^{\prime}(x)=log_q (q-1)-log_q (\frac{1}{x}-1)$

$\square$

引理 4 素除子数目的估计

设 $\mathcal{X} / \mathbb{F}_q$ 为亏格为 $g$ 的代数曲线。设 $B_r$ 为次数为 $r$ 的素除子的个数。我们有

\[\left|B_r-\frac{q^r}{r}\right| \leq(2+7 g) \frac{q^{r / 2}}{r}. \]

从现在开始，我们始终假设 $\mathcal{X} / \mathbb{F}_q$ 是一个代数曲线族，使得 $g \to \infty$ 且满足

\[\frac{g}{N} \to \frac{1}{\sqrt{q}-1}， \]

其中 $N$ 和 $g$ 分别是 $\mathbb{F}_q$-有理点的个数和亏格（关于此类曲线族的存在性，可参见 [11]）。

引理 5

设 $\sigma > 0$ 为实数，定义

\[\limsup _{N \rightarrow \infty} \frac{\log _q A_{\lfloor\sigma N\rfloor}}{N}=\sigma+\tau(\sigma) \log _q \frac{q}{q-1}， \]

其中 $\tau(\sigma)$ 视为 $\sigma$ 的函数。若

\[\frac{N}{g} \to \frac{1}{\sqrt{q}-1}， \]

则对于所有 $\sigma > 0$，有

\[\tau(\sigma) \geq 0 \]

论文的原文还证明了 $\tau(\sigma)\leq 1$ 的结论，但是用不到。

证明：令 $B_r$ 表示 $\mathcal{X} / \mathbb{F}_q$ 上素除子的个数。显然有

\[A_r \geq B_r。 \]

因此，由素除子的个数估计，我们得到

\[\frac{\log _q A_{\lfloor\sigma N\rfloor}}{N} \geq \frac{\log _q B_{\lfloor\sigma N\rfloor}}{N} \geq \frac{\log _q\left(q^{\lfloor\sigma N\rfloor} / r-(2+7 g) q^{\lfloor\sigma N\rfloor / 2} / r\right)}{N} \to \sigma。 \]

这意味着 $\tau(\sigma) \geq 0$。$\square$

接下来，我们令 $\sigma=q^{-1.5-2 \epsilon}$，其中 $\epsilon>0$ 是任意小的常数。我们将分别讨论以下两种情况：$\tau\left(q^{-1.5-2 \epsilon}\right) \geq q^{-0.5-\epsilon}$ 或 $\tau\left(q^{-1.5-2 \epsilon}\right) \leq q^{-0.5-\epsilon}$。

代入上一节Xing对 $A_t$ 的估计可以得到 $\sigma$ 是符合的，至于 $\tau(\sigma)$ 是怎么估计出来的就有点困难了，而且也没有可能情况并没有被讨论完整？

讨论 $\tau\left(q^{-1.5-2 \epsilon}\right) \geq q^{-0.5-\epsilon}$ 的情况

在本小节中，我们仍然假设 $\left\{\mathcal{X} / \mathbb{F}_q\right\}$ 是一族代数曲线，使得 $g \to \infty$ 且 $\frac{g}{N} \to \frac{1}{\sqrt{q}-1}$，其中 $N$ 和 $g$ 分别是 $\mathcal{X}$ 的 $\mathbb{F}_q$-有理点数目和亏格。

我们固定一个实数 $\epsilon \in (0,1)$。取 $\left\{\mathcal{X} / \mathbb{F}_q\right\}$ 的一个子序列 $\left\{\mathcal{Y} / \mathbb{F}_q\right\}$，使得

\[\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{\log _q A_{\lfloor\sigma N\rfloor}(\mathcal{Y})}{N}=\sigma+\tau(\sigma) \log _q \frac{q}{q-1} \]

其中 $\sigma=\frac{1}{q^{1.5+2 \epsilon}}$。不失一般性，我们可以令 $\left\{\mathcal{X} / \mathbb{F}_q\right\}$ 即为该子序列 $\left\{\mathcal{Y} / \mathbb{F}_q\right\}$。因此，$\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{\log _q A_{\lfloor\sigma N\rfloor}(\mathcal{X})}{N}$ 存在，并且等于 $\sigma+\tau(\sigma) \log _q \frac{q}{q-1}$。

引理 6

设 $D$ 是次数 $m$ 的有理除子，且 $m \geq 2 g-1$。设 $Q_1, Q_2, \ldots, Q_t$ 是两两不同的素除子，满足 $\operatorname{deg}(Q_i) = r_i$ 且 $\{Q_1, Q_2, \ldots, Q_t\} \cap \operatorname{supp}(D) = \emptyset$。令

\[G = \sum_{i=1}^{t} m_i Q_i, \quad m_i \geq 1。 \]

则集合

\[\mathcal{L}_D(G) := \left\{ f \in \mathcal{L}(D+G) : \nu_{Q_i}(f) = -m_i, \quad i = 1,2,\dots,t \right\} \]

的大小为

\[\prod_{i=1}^{t} \left( 1 - \frac{1}{q^{r_i}} \right) q^{m+r-g+1}， \]

其中 $r = \operatorname{deg}(G) = \sum_{i=1}^{t} m_i r_i$。因此，

\[\left|\mathcal{L}_D(G)\right| \geq \left(1 - \frac{1}{q} \right)^r q^{m+r-g+1}。 \]

证明：
显然有

\[\mathcal{L}_D(G) = \mathcal{L}(D+G) - \bigcup_{i=1}^{t} \mathcal{L}(D+G-Q_i)。 \]

令 $\mathcal{I}_i = \mathcal{L}(D+G - Q_i)$。那么对于 $1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq t$，有

\[\left| \bigcap_{j=1}^{k} \mathcal{I}_{i_j} \right| = \left| \mathcal{L} \left(D + G - \sum_{j=1}^{k} Q_{i_j} \right) \right| = q^{m+r - \sum_{j=1}^{k} r_{i_j} - g+1}。 \]

考虑以下并集的大小：

\[\begin{aligned} \left|\bigcup_{i=1}^t \mathcal{I}_i\right| & =\sum_{k=1}^t \sum_{1 \leq i_1<i_2<\cdots<i_k \leq t}(-1)^{k-1}\left|\cap_{j=1}^k \mathcal{I}_{i_j}\right| \\ & =\sum_{k=1}^t \sum_{1 \leq i_1<i_2<\cdots<i_k \leq t}(-1)^{k-1} q^{m+r-\sum_{j=1}^k r_{i_j}-g+1} \\ & =q^{m+r-g+1} \sum_{k=1}^t \sum_{1 \leq i_1<i_2<\cdots<i_k \leq t}(-1)^{k-1} q^{-\sum_{j=1}^k r_{i_j}} \\ & =q^{m+r-g+1}\left(1+\sum_{k=0}^t \sum_{1 \leq i_1<i_2<\cdots<i_k \leq t}(-1)^{k-1} q^{-\sum_{j=1}^k r_{i_j}}\right) \\ & =q^{m+r-g+1}\left(1-\prod_{i=1}^t\left(1-\frac{1}{q^{r_i}}\right)\right) \end{aligned} \]

第一个所需的结果由以下事实得到：

\[\left|\mathcal{L}_D(G)\right|=|\mathcal{L}(D+G)|-\left|\bigcup_{i=1}^t \mathcal{L}\left(D+G-Q_i\right)\right| \]

且

\[|\mathcal{L}(D+G)|=q^{m+r-g+1}。 \]

为了结论中的不等式，我们利用如下事实：

\[1-\frac{1}{q^k} \geq\left(1-\frac{1}{q}\right)^k, \quad \forall k \geq 1。 \]

定理 7

设 $\epsilon \in(0,1)$ 是满足 $\tau\left(q^{-1.5-2 \epsilon}\right) \geq q^{-0.5-\epsilon}$ 的一个小的实数。
那么对于任意 $\delta \in(0,1)$，存在一族非线性编码，其长度 $n \to \infty$，码率 $R$ 和相对最小距离 $\delta$ 满足：

\[\begin{aligned} R+\delta & \geq 1-\frac{1}{\sqrt{q}-1}-\frac{2}{q^{1.5+2 \epsilon}}+\left(\frac{1}{q^{0.5+\epsilon}}-\frac{1}{q^{1.5+2 \epsilon}}\right) \log _q \frac{q}{q-1}-o(1) \\ & =1-\frac{1}{\sqrt{q}-1}+\Omega\left(\frac{1}{q^{1.5+\epsilon} \ln q}\right)。 \end{aligned} \]

证明：
设 $ n $ 为曲线 $ \mathcal{X} / \mathbb{F}q $ 上的有理点个数。将所有 $ n $ 个有理点标记为 $ P_1, P_2, \ldots, P_n $。令 $ r=\lfloor\sigma n\rfloor $，其中 $\sigma=1 / q^{1.5+2 \epsilon}$。取一个整数 $ u>4 g+3 $，并选择两个素除子 $ R $ 和 $ R_u $，其次数分别为 $ u+1 $ 和 $ u $（注意，由素除子的个数估计可知确实存在这样的两个素除子）。定义

\[D=m\left(R_{u+1}-R_u\right) \]

其中 $ m=n-\lfloor\delta n\rfloor+2r $。于是 $ m \geq 2 g-1 $。考虑如下编码：

\[C=\left\{\left(f\left(P_1\right), f\left(P_2\right), \ldots, f\left(P_n\right)\right): f \in \cup_{G \in \mathcal{A}_r} \mathcal{L}_D(G)\right\} \]

令 $ \mathbf{c}_f $ 表示编码字

\[\left(f\left(P_1\right), f\left(P_2\right), \ldots, f\left(P_n\right)\right), \]

其中 $ f \in \cup_{G \in \mathcal{A}_r} \mathcal{L}_D(G) $。设 $ f_1 \in \mathcal{L}_D(G_1) $ 和 $ f_2 \in \mathcal{L}_D(G_2) $，且 $ f_1 \neq f_2 $，其中 $ G_1, G_2 \in \mathcal{A}_r $ 是两个除子。定义集合：

引理 $6$ 保证了 $f_1,f_2$ 的存在性

\[\mathcal{J}:=\left\{i \in[n]: P_i \notin \operatorname{supp}\left(G_1\right) \cup \operatorname{supp}\left(G_2\right), f_1\left(P_i\right)=f_2\left(P_i\right)\right\} \]

则

\[f_1-f_2 \in \mathcal{L}\left(D+G_1+G_2-\sum_{i \in \mathcal{J}} P_i\right)。 \]

这意味着

\[\operatorname{deg}\left(D+G_1+G_2-\sum_{i \in \mathcal{J}} P_i\right) \geq 0, \]

即

\[|\mathcal{J}| \leq m+2r。 \]

根据 $ \mathcal{J} $ 的定义，我们有：

\[d_{II}\left(\mathbf{c}_{f_1}, \mathbf{c}_{f_2}\right) \geq n-|\mathcal{J}|\geq n-(m+2 r)=n-m-2r>0。 \]

因此，编码 $ C $ 的最小距离 $ d $ 至少为 $ n-m-2r $。

接下来考虑 $ C $ 的码字数目。由 $ \mathcal{L}_D(G) $ 的定义可知，对于任意两个不同的正除子 $ G_1, G_2 \in \mathcal{A}_r $，有：

\[\mathcal{L}_D\left(G_1\right) \cap \mathcal{L}_D\left(G_2\right)=\emptyset。 \]

因此，由引理 $6$ 可得：

\[|C|=\sum_{G \in \mathcal{A}_r}\left|\mathcal{L}_D(G)\right| \geq A_r\left(1-\frac{1}{q}\right)^r q^{m+r-g+1}。 \]

由于 $G$ 的选取要避开 $P_1,\cdots,P_n$,所以这里求和并不能遍历 $\mathcal{A}_r$。也是此篇文章最大的问题所在。

因此，

\[\begin{aligned} \log_q |C| + d &\geq n - m - 2r + m + r - g + 1 + \tau(\sigma) n \log_q \frac{q}{q-1} + \sigma n - r \log_q \frac{q}{q-1} - o(n) \\ &= n - g +(\tau(\sigma) - \sigma) n \log_q \left( \frac{q}{q-1} \right) - o(n) \\ &\geq \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{q}-1} + \left( \frac{1}{q^{0.5+\epsilon}} - \frac{1}{q^{1.5+2\epsilon}} \right) \log_q \frac{q}{q-1} - o(1) \right) n \end{aligned} \]

所需结果得证。$\square$

讨论 $ \tau\left(q^{-1.5-2 \epsilon}\right) \leq q^{-0.5-\epsilon} $ 的情况

引理 8

设 $\left\{\mathcal{X} / \mathbb{F}_q\right\}$ 为一族代数曲线。分别用 $N$ 和 $g$ 表示 $\mathbb{F}_q$-有理点的个数和亏格。假设 $g \to \infty$ 且

\[\frac{g}{N} \to \frac{1}{\sqrt{q}-1}, \]

则有

\[\log _q h=\left(\frac{1}{\sqrt{q}-1}+\log _q \frac{q}{q-1}\right) N-o(N). \]

定理 $9$

设 $ \epsilon > 0 $ 为一个小实数，且 $ \delta_0 \in (0, 0.5) $ 为引理 $1$ 中方程的解。则对于所有充分大的 $ q $，其中 $ q $ 为素数的偶次幂，存在一个 Goppa 几何编码族，其长度 $ n \to \infty $，码率 $ R $ 和相对最小距离 $ \delta $ 满足：

\[R + \delta \geq 1 + \frac{1}{q^{1.5+2 \epsilon}} - \frac{1}{\sqrt{q}-1} - o(1) \]

对于所有 $ \delta \in \left( 0, \delta_0 \right) $。

证明：
设 $ n $ 为 $ \mathcal{X} / \mathbb{F}_q $ 上的有理点个数。将所有 $ n $ 个有理点标记为 $ P_1, P_2, \ldots, P_n $。令 $ \sigma = 1 / q^{1.5+2 \epsilon} $ 且 $ r = \lfloor \sigma n \rfloor $。选择一个整数 $ \ell $ 满足 $ \ell = n - \lceil \delta n \rceil $。令 $ m = \ell + r $。

对于充分大的 $ q $ 和 $ \delta \in \left( 0, \delta_0 \right) $，我们有：

\[H_2(\delta) \log_q 2 < H_2(\delta_0) \log_q 2 = \frac{1}{\sqrt{q}-1} - \frac{1}{q^{1.5+2 \epsilon}} + \left( 1 - \frac{1}{q^{0.5+\epsilon}} \right) \log_q \frac{q}{q-1} \]

因此，我们得到以下不等式：

\[H_2(\delta) \log_q 2 + \sigma + \tau(\sigma) \log_q \frac{q}{q-1} < \frac{1}{\sqrt{q}-1} + \log_q \frac{q}{q-1} \]

根据引理 $8$ ，这意味着对于充分大的 $ n $，我们有 $ \binom{n}{\ell} A_{m-\ell} < h $。根据上一小节（Xing 的构造），存在一个 Goppa 几何编码 $ C(\mathcal{P}, D) $，其中 $ D $ 是一个次数为 $ m $ 的除子，使得该编码的最小距离至少为 $ n - \ell = \lceil \delta n \rceil $，且其维度为

\[k \geq m - g + 1 = \ell + r - g + 1 = \left( 1 - \delta + \frac{1}{q^{1.5+2 \epsilon}} - \frac{1}{\sqrt{q}-1} \right) n - o(n) \]