随笔分类 - 数学原理
摘要：BSGS 假设对于给定的a,b,质数p，我们要求满足$a^x=b(mod\;p)$的所有x。 一个常规的想法是直接枚举[1,p 1]，因为$a^{p 1}=1(mod\;p)$，超过p就开始循环了，但是在p的范围较大时不可行。 我们先求出$[1,\sqrt[2]{x}]$的答案，然后对于更大的，直接
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摘要：求模意义下的组合数$C^k_n\;mod\;p$是十分常见的问题，根据数据的不同也有多种求法，下面来谈谈一些常见的解法。 $[0]: 求n!\;mod\;p$ 代码： void init() { fact[0]=1; rep(i,1,p) fact[i]=(fact[i 1] i)%p; } int
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摘要：中国剩余定理 CRT用于求解一组模线性方程组的解：$x\;mod\;m_i = a_i$。 令$M_i=\prod_{k=1\;and\;k\neq i}^nm_i$，求解$w_iM_i+km_i=1$，则答案在模$M$意义下的唯一解为$x=\sum_{i=1}^n w_iM_ia_i$ 代码：
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摘要：有这样一类问题：给出一个图，然后什么东西在上面跑，求出某个期望之类的。 大概两种做法： 直接设出目标状态，通过图上的关系可以构造出目标状态之间的一些关系，直接高斯消元即可，例子： "BZOJ 2377" 直接设出目标状态不好求关系，我们从暴力角度入手，如果可以把它看成每次迭代一个矩阵，每次加上它的某
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摘要：高斯消元适用于求解一组线性方程组，它包含$n+1$个$n$维向量，前面的$n n$矩阵为系数矩阵，在算法结束后，$A_{i,n+1}$即为$x_i$的值，根据适当修改也可求解非唯一解或无解情况。 行列式 高斯消元还可以在$O(n^3)$时间以内求得一个方阵的行列式，原理：通过初等行变换将矩阵变为上三
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摘要：解方程组：高斯消元，复杂度$O(n^3)$ 矩阵求逆：对矩阵$(A |I_n)$进行初等行变换，结果为$(I_n|A^{ 1})$,复杂度为$O(n^3)$ 只求逆矩阵的第$i$列：设$E_i$为$I_n$的第$i$列，解方程组$Ax=E_i$，向量$x$即为所求列，复杂度为$O(n^3)$，但常数
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摘要：第一类斯特林数： 定义： 我们用$s(n,k)$表示多项式$x(x 1)……(x n+1)$中$x^k$的系数（无符号），记为第一类斯特林数。 它的组合意义为：有$n$个点，$k$个环的置换个数。 性质： 由此我们可以得出一个递推式：$s(n,k)=s(n 1,k 1)+(n 1)s(n 1,k)$
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摘要：在大多数数论的朴素筛法中，时间复杂度通常为O(nloglogn)，尽管已经十分快了，但在有些情况下不适用。为此欧拉提出了一种筛法，能够在O(n)时间内求出1~n的所有素数，而且有很大拓展空间。 代码： void get_prime(int n) { memset(is_prime,true,size
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摘要：矩阵： 长为n，宽为m，里面包含nm个元素。 矩阵数乘： kA，即为kA[i][j] 矩阵加法： C=A+B ，即为C[i][j]=A[i][j]+B[i][j] 类似的我们定义减法A+B为A+( 1)B 零矩阵： 所有元素都为0的矩阵 向量： n或m为1的矩阵，n为1则为行向量，m为1则为列向量
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摘要：欧几里得算法： 对于给定的整数a,b，我们可以在O(logn)的时间里求出它们的最大公约数，即使用著名的欧几里得算法（辗转相除法）解决这个问题。 这个算法基于以下事实： Gcd( a , b ) = Gcd(b , a%b ) ，当b=0，Gcd=a 扩展欧几里得算法： 由裴蜀定理可得，对于一组整数
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摘要：加法原理 ：做一件事有n种办法，每种办法有p[i]个方案，总方案为p[1]+p[2]+……p[n] 乘法原理 ：做一件事有n个步骤，每个步骤有p[i]个方案，总方案为p[1] p[2]……p[n] 排列 ：在n个元素中选择k个（顺序不同为不同方案），有P(n,k)种方案，其中P(n,k)=n!/(n
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摘要：定义： 对于A,P两个整数，若存在x，使A x=1 (mod P)，则称x为A模P的乘法逆元。 解法： 对于给出A,P，我们要求x使A x=1(mod P)，即求出一组x,y，使满足方程A x+P y=1 用扩展欧几里得算法求解即可（求出x有可能为负数，注意题意是否允许这种情况)。 （1）当A,P互
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