乘法逆元

定义：

对于A,P两个整数，若存在x，使A*x=1 (mod P)，则称x为A模P的乘法逆元。

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解法：

对于给出A,P，我们要求x使Ax=1(mod P)，即求出一组x,y，使满足方程Ax+P*y=1

用扩展欧几里得算法求解即可（求出x有可能为负数，注意题意是否允许这种情况)。

（1）当A,P互质，x有唯一解，否则x无解。

（2）逆元函数是完全积性函数。

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证明：

定理（1）：

充分性：当gcd(A,P)=1，根据裴蜀定理，有一组x,y，满足Ax+Py=gcd(A,P)，
即Ax+Py=1

必要性：当x为A,P的乘法逆元，即Ax=1(mod P)，则存在一组x,y，使Ax+P*y=1
由上同理可得，gcd(A,P) | 1，则必有gcd(A,P)=1

当A,P不互质，根据裴蜀定理，A,P的线性组合中最小的值为gcd(A,P)，但由于gcd(A,P)>1，所以不存在Ax+Py=1

定理（2）

设Rem(a)为x模P的逆元

则 aRem(a)=1(mod P)
bRem(b)=1(mod P)
两式相乘，得：
(ab)Rem(a)Rem(b)=1(mod P)
即
Rem(ab)=Rem(a)Rem(b) (ab 与 P互质）

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应用：

既然是乘法逆元，它主要就是为了把除法转换为乘法。

当我们要求(A/B) mod P=？ ，我们可以求出B模P的逆元x，即Bx=1 (mod P)
两式相乘，得Ax=？(mod P)

这样，除法就被变为了乘法。

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll a,b,x,y;

void EX_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
 if (b==0)
 {
  x=1;y=0;
 }
 else 
 {
  EX_gcd(b,a%b,y,x);
  y-=(a/b)*x;
 }
}

int main()
{
 scanf("%d%d",&a,&b);
 EX_gcd(a,b,x,y);
 while (x<0) x+=b;

 printf("%d\n",x);
 return 0;
}

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其他求法：

对于P为质数的特殊情况，根据费马小定理，有 A^(P-1）= 1（mod P）

所以A在mod P下的逆就是 A^(P-2) mod P