文章分类 - 数学
摘要：问题描述 给定 \(n\)，有 \(a_{0\sim 2^n-1}\) 和 \(b_{0\sim 2^n-1}\)，求出 \(c_{0\sim 2^n-1}\)，满足 \[c_z=\sum_{z=x\oplus y}a_xb_y \]其中 $\oplus $ 为一种位运算（这里的位运算指结果的某一位
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摘要：公式 \[[n\mid k]=\frac 1n\sum_{i=0}^{n-1} \omega_n^{ik} \]证明 \(n\mid k\) 时，\(\forall i\in \mathbb N\)，\(\omega_n^{ik}=1\)，因此 \(\frac 1n\sum_{i=0}^{n-1}
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摘要：\(\text{NTT}\) 为 \(\text{FFT}\) 在数论基础上的实现，最主要的区别就是把 \(\omega_n\) 换为 \(g^{\frac{p-1}{2^n}}\)，其中 \(g\) 为原根，\(p\) 为模数，必须满足 \(2^n\mid (p-1)\) 常用 \(\text{N
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摘要：问题描述 给定 \(n\)，有 \(a_{0\sim 2^n-1}\) 和 \(b_{0\sim 2^n-1}\)，求出 \(c_{0\sim 2^n-1}\)，满足 \[c_z=\sum_{z=(x+y)\bmod 2^n} a_xb_y \]记其为 \(c=a\ast b\) 符号 和 约定 假
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摘要：例 1：P2522 [HAOI2011] Problem b \(t\) 组询问，给定 \(a,b,c,d,k\)，查询 \(\sum_{x=a}^b\sum_{y=c}^d[\gcd(x,y)=k]\)，\(t,a,b,c,d,k\le5\times10^4\) 先拆为四个 \[\sum_{x=1
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摘要：莫比乌斯函数 \(\mu(n)=\begin{cases} 1&n=1\\ 0&\exists k>1,k^2\mid n\\ (-1)^{x}&n\ne 1,(\nexists k>1,k^2\mid n),n=\prod_{i=1}^x p_i,(\forall p_i,p_i\in\mathb
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摘要：即模意义下的开根 定义 对于 \(a,p\)，若存在 \(x\) 使得 \(x^2\equiv a\pmod p\)，则 \(a\) 为模 \(p\) 下的二次剩余，否则为非二次剩余 数量 假定 \(p\) 为奇质数 则二次剩余有 \(\frac {p+1}2\) 个，非二次剩余有 \(\frac{
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摘要：给定 \(a,b,p\)，求出最小的 \(x\)，使 \(a^x\equiv b\pmod p,p\le10^9\) a 和 p 互质的情况 模板题：[TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS 令 \(s=\lceil\sqrt p\rceil,x=rs-c\) 则 \(a^{rs-c}\e
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摘要：阶 若 \(b\) 为满足 \(a^b\equiv 1\pmod p\) 的最小值，则 \(b\) 为 \(a\) 模 \(p\) 的阶，记为 \(\text{ord}_p(a)\) 或 \(\delta_p(a)\)，阶一定存在 性质 1 \([a^i\bmod p\mid 1\le i\le\d
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摘要：Lucas 定理 int fc[200010], inv[200010]; int C(int n, int m, int p){ if (m < n)return 0; if (n >= p || m >= p)return 1ll * C(n / p, m / p, p) * C(n % p,
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摘要：扩展中国剩余定理 模板题：P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT） 模板： #define int long long int n, m[100010], a[100010]; bool res = 1; void mul(int &a, int b, int c){ int ret =
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摘要：Pollard-Rho 算法 模板题：P4718 【模板】Pollard-Rho 模板： const int prl[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}; long long mul(long long a, long long b, l
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摘要：朴素实现 bool is_prime(int v){ if (v < 2)return 0; for (int i = 2; i * i <= v; ++i)if (v % i == 0)return 0; return 1; } 时间复杂度 \(O(\sqrt V)\) 二次探测定理 \[\for
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摘要：欧几里得辗转相除法 int gcd(int a, int b){return b? gcd(b, a % b) : a;} 扩展欧几里得算法 递归： int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){ if (b == 0){x = 1, y = 0;return a;
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摘要：记号说明 \(O(n^\varepsilon)\)：\(f(n)=O(n^\varepsilon)\iff \forall \varepsilon>0,f(n)=O(n^\varepsilon)\) \(f\ast g\)：狄利克雷卷积 \((a,b)\)：\(\gcd(a,b)\) \([a,b]
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摘要：线段长度期望 线段 \([0,1]\) 中随机选两个点，求线段长度的期望 答案为 \[\begin{aligned} \int_0^1\int_0^1|x-p| \mathrm dp\,\mathrm dx=&\int_0^1x^2-x+\frac12\mathrm dx\\ =&\frac13x^
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摘要：定义 对于概率空间 \((\Omega,\mathcal F,P)\)，\(\Omega\) 上的函数 \(X:\Omega\to\mathbb R\) 若满足对于任意 \(t\in \mathbb R\) 有 \[\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\le t\}\in\
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摘要：条件概率 定义 令 \(P(B\mid A)\) 表示 \(A\) 发生的情况下 \(B\) 发生的概率，称为条件概率，定义为 \[P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)} \]需要满足 \(P(A)>0\)，否则没有意义 由此可推出： 概率乘法公式： \[P(AB)=P(A)P(
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摘要：基本定义 样本空间 \(\Omega\)：随机现象所有可能出现的结果的集合 事件域 \(\mathcal F\)：所关心的所有事件的集合 样本点：一个随机试验中一切可能基本结果，样本点的空间为样本空间 随机事件：样本空间的子集，若干样本点的集合 事件 \(A\) 发生了：随机现象的结果 \(\ome
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摘要：线性空间 定义 域 \(F\) 上的线性空间 \(V\) 为一个集合，定义的加法 \(+:V\times V\to V\) 和数乘 \(\cdot:F\times V\to V\)，满足代数系统 \((V,+)\) 构成交换群（其中的幺元称为零元，记为 \(0\)），\(\cdot\) 存在结合律，
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