数论基础

记号说明

\(O(n^\varepsilon)\)：\(f(n)=O(n^\varepsilon)\iff \forall \varepsilon>0,f(n)=O(n^\varepsilon)\)

\(f\ast g\)：狄利克雷卷积

\((a,b)\)：\(\gcd(a,b)\)

\([a,b]\)：\(\operatorname{lcm}(a,b)\)

\(\varepsilon(n)\)：单位函数，\(\varepsilon(n)=[n=1]\)

\(\operatorname{1}(n)\)：常数函数，\(\operatorname{1}(n)=1\)

\(\operatorname{id}_k(n)\)：恒等函数，\(\operatorname{id}_k(n)=n^k\)，\(k=1\) 时忽略

\(\sigma_k(n)\)：除数函数，\(\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}d^k\)，\(k=0\) 时简记为 \(d(n)\)，\(k=1\) 时忽略

\(\varphi(n)\)：欧拉函数，\(\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[(i,n)=1]\)

\(\mu(n)\)：莫比乌斯函数

\(\Omega(n)\)：所有质因子数目，若 \(n\) 的唯一质因数分解为 \(\prod_{i}p_i^{k_i}\)，则 \(\Omega(n)=\sum_i k_i\)

\(\omega(n)\)：相异质因子数目，若 \(n\) 的唯一质因数分解为 \(\prod_{i}p_i^{k_i}\)，则 \(\omega(n)=\sum_i 1\)

\(a_0(n)\)：所有质因子之和，若 \(n\) 的唯一质因数分解为 \(\prod_{i}p_i^{k_i}\)，则 \(a_0(n)=\sum_i p_ik_i\)

\(a_1(n)\)：相异质因子之和，若 \(n\) 的唯一质因数分解为 \(\prod_{i}p_i^{k_i}\)，则 \(\omega(n)=\sum_i p_i\)

\(\pi(n)\)：素数计数函数，\(\pi(n)=\sum_{i\in \mathbb P}[i\le x]\)，其中 \(\mathbb P\) 为质数集

\(a/b\)：\(a\) 除以 \(b\) 结果下取整

一些式子的渐进估计

\(d(n)=O(n^{\varepsilon})\)

\(\sum_{i=1}^n\frac 1i=\ln n+\gamma+O(n^{-1})\)，其中 \(\gamma\) 为欧拉常数

\(\pi(n)\sim \frac n{\ln n}\)

\(\omega(n)\le (1+\varepsilon)\cdot\frac{\ln n}{\ln\ln n}\)，平均值为 \(O(\ln\ln n)\)（\(\text{Hardy-Ramanujan}\) 定理）

\(\sum_{d\mid n}=O(n\log \log n)\)

积性函数

定义

令 \(f\) 为一个数论函数，若对于任意 \(x,y\in\mathbb N^+,(x,y)=1\)，有 \(f(x)f(y)=f(x,y)\)，则 \(f\) 为积性函数；若可以去掉 \((x,y)=1\) 的条件，则为完全积性函数

性质

若 \(f\) 为积性函数，则 \(f(1)=1\)

若 \(f,g\) 为（完全）积性函数，则以下函数也为（完全）积性函数：

• \(h(x)=f(x^p)\)
• \(h(x)=f^p(x)\)
• \(h(x)=f(x)g(x)\)
• \(h(x)=\sum_{ab=x}f(a)g(b)\)

若 \(n\) 的唯一质因数分解为 \(\prod_{i}p_i^{k_i}\)，且 \(f(x)\) 为积性函数，则 \(f(n)=\prod_i f(p_i^{k_i})\)，若 \(f(x)\) 为完全积性函数，则 \(f(n)=\prod_i f(p_i^{k_i})=\prod_i f(p_i)^{k_i}\)

例子

\(\operatorname 1,\varepsilon,\operatorname{id}_k\) 为完全积性函数，\(\mu,\varphi,\sigma_k\) 为积性函数

加性函数

定义

令 \(f\) 为一个数论函数，若对于任意 \(x,y\in\mathbb N^+,(x,y)=1\)，有 \(f(x)+f(y)=f(x,y)\)，则 \(f\) 为加性函数；若可以去掉 \((x,y)=1\) 的条件，则为完全加性函数

性质

若 \(f\) 为加性函数，则 \(f(1)=0\)

若 \(n\) 的唯一质因数分解为 \(\prod_{i}p_i^{k_i}\)，且 \(f(x)\) 为加性函数，则 \(f(n)=\sum_i f(p_i^{k_i})\)，若 \(f(x)\) 为完全加性函数，则 \(f(n)=\sum_i f(p_i^{k_i})=\sum_i f(p_i)k_i\)

例子

\(\Omega,a_0\) 为完全加性函数，\(\omega,a_1\) 为加性函数

常用公式

\[\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n \]

\[\sum_{d\mid n}d\mu\left(\frac nd\right)=\varphi(n) \]

\[\sum_{d\mid n}\frac{\mu( d)}d=\frac{\varphi(n)}n \]

\[d(ij)=\sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}\varepsilon(\gcd(x,y)) \]

参考

1. \(\text{12.11 math1.pdf \; \;by Tx\_Lcy}\)
2. 数论基础 - oi wiki
3. 数学/数论专题：莫比乌斯函数与欧拉函数