概率论 基本概念

基本定义

样本空间 \(\Omega\)：随机现象所有可能出现的结果的集合

事件域 \(\mathcal F\)：所关心的所有事件的集合

样本点：一个随机试验中一切可能基本结果，样本点的空间为样本空间

随机事件：样本空间的子集，若干样本点的集合

事件 \(A\) 发生了：随机现象的结果 \(\omega\in A\)

事件运算

和事件 \(A+B\)：事件的并集

积事件 \(AB\)：事件的交集

补事件 \(\overline A\)：事件的补集

差事件 \(A-B\)：事件的差集

事件域

需要满足：

• \(\mathbb \emptyset\in \mathcal F\)
• \(\mathcal F\subseteq 2^{\Omega}\)
• \(\forall A\in\mathcal F,\overline A\in\mathcal F\)
• \((\forall A\in\mathcal F,B\in\mathcal F),(A\cup B)\in\mathcal F\)

即对于补运算、可数并下封闭，且包含空集

可证其对可数交也封闭

概率

古典定义

若一个随机现象满足其只有有限个基本结果，且每个结果发生的可能性相同，则对于随机事件 \(A\)，其发生的概率为包含 \(A\) 的结果数量除以总数量

此概率模型称为 古典概型，可推广至 几何概型

此定义下会产生 贝特朗悖论 等一系列问题，因此之后提出了概率的公理化定义：

公理化定义

概率函数 \(P(A)\) 为 \(\mathcal F\) 到区间 \([0,1]\) 的映射，且满足

• 规范性：\(P(\Omega)=1\)
• 可数可加性：若事件 \(A_1,A_2,\cdots\) 两两不交，则 \(P(\bigcup_{i\ge 1}A_i)=\sum_{i\ge 1}P(A_i)\)

误区

古典概率论和中学学习中一般认为 \(P(A)=0\) 等价于事件不可能发生，其中事件 \(A\) 不可能发生时 \(P(A)=0\) 没有问题，但是 \(P(A)=0\) 无法推出事件 \(A\) 不可能发生，例如从 \([0,1]\) 中等概率取出一个实数，取到 \(0.5\) 的概率为 \(0\)，但不是不可能发生

性质

• 概率的单调性 \(\forall A\subseteq B,P(A)\le P(B)\)
• 容斥原理 \(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)
• \(P(A-B)=P(A)-P(AB)\)

概率空间

令样本空间为 \(\Omega\)，事件域为 \(\mathcal F\)，概率函数为 \(P\)，则概率空间为三元组 \((\Omega,\mathcal F,P)\)

参考

1. \(\text{2024.12.4 Probability Theory(Easy).pdf \; \;by lanos212}\)
2. 基本概念 - oi wiki