条件概率 与 独立性

条件概率

定义

令 \(P(B\mid A)\) 表示 \(A\) 发生的情况下 \(B\) 发生的概率，称为条件概率，定义为

\[P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)} \]

需要满足 \(P(A)>0\)，否则没有意义

由此可推出：

• 概率乘法公式：

\[P(AB)=P(A)P(B\mid A) \]

• 全概率公式（其中 \(A_{1\sim n}\) 两两不交且和为 \(\Omega\)）：

\[P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B\mid A_i) \]

贝叶斯公式

\[P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(A)P(B\mid A)+P(\lnot A)P(B\mid\lnot A)} \]

更一般的形式（其中 \(A_i\) 两两不交）：

\[P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B\mid A_i)} \]

经典题目

三扇门，一扇后面有奖品，先随机选择一扇，一个人又打开了一扇，这扇门后面没有奖品，求原本选择的门后有奖品的概率

结论：概率不确定，但在 \([\frac13,1]\) 中

设那个人有 \(p\) 的概率选择没有奖品的门，则有 \(\frac13\) 的概率选择的就是有奖品的门，\(\frac23p\) 的概率没选择且没打开的门有奖品，\(\frac23(1-p)\) 的概率打开的门后有奖品

而根据发生的情况，第三种不可能发生

因此原本选择门后有奖品的概率为 \({\frac{\frac13}{\frac13+\frac23p}=\frac1{2p+1}\in [\frac13,1]}\)

常见的错误回答是假定 \(p=1\) 或 \(p=\frac12\)，得到概率为 \(\frac 13\) 或 \(\frac 12\)

事件的独立性

定义

对于事件 \(A,B\in\mathcal F\)，若满足 \(P(AB)=P(A)P(B)\)，则称 \(A,B\) 独立

对于事件集合 \(S\)，若 对于所有 满足 \(S'\subseteq S,S'\ne\mathbb\emptyset\) 的 \(S'\)，有 \(P(\bigcap_{A\in S'}A)=\prod_{A\in S'}P(A)\)，则 \(S\) 中事件互相独立

多个事件两两互质不能推出这些事件互相独立，反例

参考

1. \(\text{2024.12.4 Probability Theory(Easy).pdf \; \;by lanos212}\)
2. 条件概率与独立性 - oi wiki