莫比乌斯反演

莫比乌斯函数

\(\mu(n)=\begin{cases} 1&n=1\\ 0&\exists k>1,k^2\mid n\\ (-1)^{x}&n\ne 1,(\nexists k>1,k^2\mid n),n=\prod_{i=1}^x p_i,(\forall p_i,p_i\in\mathbb P) \end{cases}\)

一种简单的 \(O(n\log n)\) 写法：

mu[1] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i + i; j <= n; j += i)mu[j] -= mu[i];

显然 \(\mu\) 为积性函数，可线性筛 \(O(n)\) 求出

性质

\[\mu\ast\operatorname{1}=\varepsilon \]

\[\varphi=\mu\ast\operatorname{id} \]

莫比乌斯变换

形式 \(1\)：

\[f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)\iff g(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)f(\tfrac nd) \]

另一种写法：\(f=\operatorname{1}\ast \,g\iff g=\mu\ast f\)（左式两边同时卷 \(\mu\) 即可得右式）

这种形式下，\(f\) 为 \(g\) 的莫比乌斯变换，\(g\) 为 \(n\) 的莫比乌斯逆变换（反演）

形式 \(2\)：

\[f(n)=\sum_{n\mid d}g(d)\iff g(n)=\sum_{n\mid d}\mu(\tfrac dn)f(d) \]

扩展

设 \(t\) 为完全积性函数，则

\[\begin{gathered} f(n)=\sum_{i=1}^nt(i)\,g\left(n/i\right)\\ \iff\\ g(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)\,t(i)\,f\left(n/i\right) \end{gathered} \]

参考

1. \(\text{12.11 math1.pdf \; \;by Tx\_Lcy}\)