随机变量

定义

对于概率空间 \((\Omega,\mathcal F,P)\)，\(\Omega\) 上的函数 \(X:\Omega\to\mathbb R\) 若满足对于任意 \(t\in \mathbb R\) 有

\[\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\le t\}\in\mathcal F \]

则称 \(X\) 为随机变量

示性函数

对于样本空间 \(\Omega\) 上的事件 \(A\)，定义 \(I_A(\omega)=[\omega\in A]\) 为 \(A\) 的示性函数

分布函数

对于随机变量 \(X\)，称 \(F(x)=P(x\le X)\) 为其分布函数，记为 \(X\sim F(x)\)

满足：

• 右连续性：\(F(x)=F(x+0)\)
• 单调性：\((\forall x\in \mathbb R,y\in\mathbb R,x<y),F(x)\le F(y)\)
• \(F(-\infty)=0,F(\infty)=1\)

可证分布函数与随机变量之间一一对应

随机变量的独立性

对于随机变量 \(X\) 和 \(Y\)，若对于任意 \(x,y\in \mathbb R\)，有

\[P(X\le x,Y\le y)=P(X\le x)P(Y\le y) \]

则称 \(X\) 和 \(Y\) 独立

若随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 独立，对于任意函数 \(f,g\)，随机变量 \(f(X)\) 和 \(g(Y)\) 互相独立

随机变量的期望

• 期望的线性性：对于随机变量 \(X,Y\)，有 \(aE(X)+b=E(aX+b)\)，\(E(X)+E(Y)=E(X+Y)\)
• 随机变量乘积的期望：若 \(X\) 和 \(Y\) 独立（为充分不必要条件），则 \(E(XY)=E(X)E(Y)\)
• 期望与概率的转化：\(E(I_A)=P(A)\)

方差

令 \(D(X)=E((X-E(X))^2\) 表示 \(X\) 的方差，也记为 \(Var(X)\)

满足：

• \(D(aX+b)=a^2D(X)\)
• \(D(X)=E(X^2)-E(X)^2\)
• 若 \(X_{1\sim n}\) 互相独立，则 \(D(\sum X_i)=\sum D(X_i)\)
• 样本均值的方差小于总体的方差

参考

1. \(\text{2024.12.4 Probability Theory(Easy).pdf \; \;by lanos212}\)
2. 随机变量 - oi wiki
3. 随机变量的数字特征 - oi wiki