随笔分类 - 概率/期望
摘要：洛谷传送门 CF 传送门 考虑用相邻两个球之间的距离来描述一个状态。 设距离序列为 \(a_1, a_2, \ldots, a_k\)（忽略 \(0\)）。考虑鞅与停时定理，设一个状态的势能为 \(\sum\limits_{i = 1}^k f(a_i)\)，一次操作能使得势能期望减少 \(1\)。
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摘要：好高妙！ 大致思想是给每个局面构造一个势能函数 \(F(a_1, a_2, \ldots, a_n)\)，使得 \(\sum E(F(a'_1, a'_2, \ldots, a'_n)) - E(F(a_1, a_2, \ldots, n)) = -1\)，其中 \(a'\) 取遍 \(a\) 的后
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摘要：洛谷传送门 CF 传送门 印度出题人玩原神玩的吧？？？ 考虑计算每条折线被选的概率。考虑相当于是有一个 \(1 \sim n + m - 2\) 的排列 \(p\)，然后一条 \(x = i\) 的直线被选且不是最后一个被选的，当且仅当它在 \(p\) 中排在 \(x = 1 \sim i - 1\
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摘要：洛谷传送门 CF 传送门 好题。 考虑计算 \(x\) 落在 \([1, n - 1]\) 的概率。设 \(f_i\) 为 \(x\) 经过 \(i\) 的概率，答案即为 \(\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} f_i\)。 \(f\) 有一个朴素的递推： \[f_i = \be
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 人生中第一道 AtCoder 问号题。 设 \(P = 998244353\)。 注意到 \(f(T)\) 的定义式中，\(\frac{1}{n}\) 大概是启示我们转成概率去做。发现若把 \(\frac{1}{n}\) 换成 \(\frac{1}{n - 1}\
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摘要：洛谷传送门 感觉跟 CF Gym 102978H Harsh Comments 很像。 考虑容斥，钦定 \(S \subseteq [2, n]\) 中的人比 \(1\) 后死。设 \(P(S)\) 为 \(S\) 中的人比 \(1\) 后死的概率，那么答案为： \[ans = \sum\limit
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摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/P4548 "洛谷传送门") 结论：答案为 $\sum\limits_{s_{1 \sim k} = s_{m - k + 1 \sim m}} n^k$。 记一下两种理解方法。 假设有人开了一个赌场，每一秒钟有一位赌
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摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc238_h "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/abc238/tasks/abc238_h "AtCoder 传送门") 考虑期望转计数，方
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摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/CF1842G "洛谷传送门") [CF 传送门](https://codeforces.com/contest/1842/problem/G "CF 传送门") 原来还不会这种拆期望的套路
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摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_arc154_e "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/arc154/tasks/arc154_e "AtCoder 传送门") 好题！ 考虑如何更
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摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc242_h "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/abc242/tasks/abc242_h "AtCoder 传送门") 好久没复习过 mi
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摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc253_h "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/abc253/tasks/abc253_h "AtCoder 传送门") 没做出来。 考虑求
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摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc149_f "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/abc149/tasks/abc149_f "AtCoder 传送门") 不错的题。 考虑题
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摘要：[洛谷传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_arc132_e "洛谷传送门") [AtCoder 传送门](https://atcoder.jp/contests/arc132/tasks/arc132_e "AtCoder 传送门") 感觉挺 educa
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摘要：洛谷传送门 AtCoder 传送门 挺有意思的计数。 计数感觉很难做，不妨转成期望，期望又可以转成概率之和。 考虑枚举 $w \in [0,m-1]$，把 $> w$ 的数设为 $1$，$\le w$ 的数设为 $0$。那么期望就是所有 $w$，$a_i$ 为 $1$ 的概率之和。对于一个 $i$，
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摘要：洛谷传送门 考虑先求出哪些点一定要按，然后 dp。 设 $f_i$ 为当前还有 $i$ 个点要按的期望步数。转移就是 $f_i = \dfrac{i}{n} f_{i-1} + \dfrac{n-i}{n} f_{i+1}$，初值 $f_{p} = p,\ p \in [1,k]$。 这个没办法化简
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摘要：洛谷传送门 设 $h_i$ 为所有询问最大值 $\le i$ 的方案数，则 $ans = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n i \times (h_i - h_{i-1})}{x^n}$。 设 $g_i$ 为在 $1 \sim n$ 中选出 $i$ 个点且每个询问区间都至少包含一
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摘要：洛谷传送门 CodeForces 传送门 看到询问次数接近 $n$，考虑将 $n$ 分成多组，每组都以较少的期望询问次数解决。 先询问一次全 F，接下来的询问就能确定若干个位置的 T 个数。考虑每次从答案未确定的问题集合中随 $4$ 个（如果集合大小 $< 4$ 就暴力），先问这 $4$ 个中 T
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摘要：### 公式 普通 min-max 容斥： $$\max\limits_{i \in S} a_i = \sum\limits_{T \subseteq S \and T \ne \varnothing} (-1)^{|T|-1} \min\limits_{j \in T} a_j$$ $$\min
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摘要：CF 传送门 洛谷传送门 很强的一个题。 发现根的选择很重要，于是考虑先枚举根。 考虑枚举两个点对 $i,j\ (i<j)$，如果 $j$ 比 $i$ 先被标记，那么 $i,j$ 就贡献了一个逆序对。将所有 $j$ 比 $i$ 先被标记的概率加起来就是期望。 对于 $i,j$，当 $\operato
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