CodeForces 1540B Tree Array

CF 传送门

洛谷传送门

很强的一个题。

发现根的选择很重要，于是考虑先枚举根。

考虑枚举两个点对 \(i,j\ (i<j)\)，如果 \(j\) 比 \(i\) 先被标记，那么 \(i,j\) 就贡献了一个逆序对。将所有 \(j\) 比 \(i\) 先被标记的概率加起来就是期望。

对于 \(i,j\)，当 \(\operatorname{lca}(i,j)\) 被标记后，新的被标记点要么和 \(i,j\) 无关，要么等概率选择 \(i \to lca,\ j \to lca\) 其中的一条链上的下一个点。记 \(f_{x,y}\) 为有 \(x,y\) 两数，每次等概率选择一个数使它 \(-1\)，\(y\) 先变为 \(0\) 的概率。记 \(a,b\) 分别为 \(i\) 和 \(j\) 到 \(lca\) 的距离，则 \(ans \gets ans + f_{a,b}\)。

\(f_{i,j}\) 也容易计算，初始值 \(f_{i,0}=1\)，转移为 \(f_{i,j} = \dfrac{f_{i-1,j}+f_{i,j-1}}{2}\)。

code

/*

p_b_p_b txdy
AThousandSuns txdy
Wu_Ren txdy
Appleblue17 txdy

*/

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define fst first
#define scd second
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 210;
const ll mod = 1000000007;
const ll inv2 = (mod + 1) / 2;

ll qpow(ll b, ll p) {
	ll res = 1;
	while (p) {
		if (p & 1) {
			res = res * b % mod;
		}
		b = b * b % mod;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}

ll n, head[maxn], len, f[maxn][maxn];
int dep[maxn], sz[maxn], son[maxn], fa[maxn];
int top[maxn];
bool vis[maxn];

struct edge {
	int to, next;
} edges[maxn << 1];

void add_edge(int u, int v) {
	edges[++len].to = v;
	edges[len].next = head[u];
	head[u] = len;
}

int dfs(int u, int f, int d) {
	fa[u] = f;
	dep[u] = d;
	sz[u] = 1;
	int maxson = -1;
	for (int i = head[u]; i; i = edges[i].next) {
		int v = edges[i].to;
		if (v == f) {
			continue;
		}
		sz[u] += dfs(v, u, d + 1);
		if (sz[v] > maxson) {
			son[u] = v;
			maxson = sz[v];
		}
	}
	return sz[u];
}

void dfs2(int u, int tp) {
	top[u] = tp;
	vis[u] = 1;
	if (!son[u]) {
		return;
	}
	dfs2(son[u], tp);
	for (int i = head[u]; i; i = edges[i].next) {
		int v = edges[i].to;
		if (!vis[v]) {
			dfs2(v, v);
		}
	}
}

int querylca(int x, int y) {
	while (top[x] != top[y]) {
		if (dep[top[x]] < dep[top[y]]) {
			swap(x, y);
		}
		x = fa[top[x]];
	}
	if (dep[x] > dep[y]) {
		swap(x, y);
	}
	return x;
}

void solve() {
	scanf("%lld", &n);
	for (int i = 1, u, v; i < n; ++i) {
		scanf("%d%d", &u, &v);
		add_edge(u, v);
		add_edge(v, u);
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		f[i][0] = 1;
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j <= n; ++j) {
			f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - 1]) % mod * inv2 % mod;
		}
	}
	ll ans = 0;
	for (int rt = 1; rt <= n; ++rt) {
		mems(dep, 0);
		mems(sz, 0);
		mems(fa, 0);
		mems(son, 0);
		mems(top, 0);
		mems(vis, 0);
		dfs(rt, -1, 1);
		dfs2(rt, rt);
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			for (int j = i + 1; j <= n; ++j) {
				int lca = querylca(i, j);
				ans = (ans + f[dep[i] - dep[lca]][dep[j] - dep[lca]]) % mod;
			}
		}
	}
	ans = ans * qpow(n, mod - 2) % mod;
	printf("%lld\n", ans);
}

int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}