AtCoder Beginner Contest 149 F Surrounded Nodes

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不错的题。

考虑题目等价于，每个点等概率选或不选，求导出子图大小减选出点数的期望。

考虑一个点在导出子图的充要条件，发现不好计算。正难则反，考虑不在导出子图的充要条件，其实就是，所有点都在 \(u\) 的一棵子树内，或者 \(u\) 子树内没有选点。那么我们得到点 \(u\) 在导出子图的概率是：

\[1 - \frac{2^{n - sz_u}}{2^n} - \sum\limits_{v \in son_v} \frac{2^{sz_v} - 1}{2^n} \]

导出子图大小的期望就是每个点在导出子图中的概率之和，选出点数的期望显然是 \(\frac{n}{2}\)，减一下就是最终答案。

code

// Problem: F - Surrounded Nodes
// Contest: AtCoder - AtCoder Beginner Contest 149
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc149/tasks/abc149_f
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define fst first
#define scd second
#define mems(a, x) memset((a), (x), sizeof(a))

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
typedef pair<ll, ll> pii;

const int maxn = 200100;
const ll mod = 1000000007;
const ll inv2 = (mod + 1) / 2;

inline ll qpow(ll b, ll p) {
	ll res = 1;
	while (p) {
		if (p & 1) {
			res = res * b % mod;
		}
		b = b * b % mod;
		p >>= 1;
	}
	return res;
}

int n, sz[maxn];
ll ans;
vector<int> G[maxn];

void dfs(int u, int fa) {
	sz[u] = 1;
	ans = (ans + 1) % mod;
	for (int v : G[u]) {
		if (v == fa) {
			continue;
		}
		dfs(v, u);
		ans = (ans - (qpow(2, sz[v]) + mod - 1) % mod * qpow(inv2, n) % mod + mod) % mod;
		sz[u] += sz[v];
	}
	ans = (ans - qpow(2, n - sz[u]) * qpow(inv2, n) % mod + mod) % mod;
}

void solve() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1, u, v; i < n; ++i) {
		scanf("%d%d", &u, &v);
		G[u].pb(v);
		G[v].pb(u);
	}
	dfs(1, -1);
	ans = (ans - inv2 * n % mod + mod) % mod;
	printf("%lld\n", ans);
}

int main() {
	int T = 1;
	// scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		solve();
	}
	return 0;
}