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摘要： 最短路算法不再赘述，假定我们已经求出了最短路，记 \(f[x, y]\) 为 \(x\) 到 \(y\) 的最短路。 记 \(g[x, y]\) 为 \(x\) 到 \(y\) 的严格次短路。 最短路树的定义 单源最短路问题中，如果p1->p2->p3->...pn是一条最短路，就将它的边都加入图中 阅读全文

摘要： 这是之前关于欧拉路的两篇博客。 关于欧拉路的逆序压栈问题：here。 22年写的一个小总结：here。 关于欧拉路，主要疑点在于两个：一是压栈输出的原理；二是打上标记后时间复杂度退化的问题。 压栈输出的原理 走到点u时，有两种情况： u此时是终点，那么没有没走过的边与之相连。 u此时不是终点，那么它 阅读全文

摘要： 这道题想了很久，终于想出来了，非常抽象。 经过一番无脑推导，我们发现u里面有没有军营，是否与根连通，u的子树有没有军营，……都对方案数有影响，然后我就一直修修改改，事实证明，当发现越来越多题目条件中被忽略的细节时，一定不要嫌麻烦，要从头开始设置状态。 首先我们发现，子树中有没有军营对于与子树相连的边 阅读全文

摘要： 无向图的割点 先给出几个定理： A：一棵树中的所有结点对于任意结点的可达性一致。 记 \(p(u,v)表示u和v可以相互到达\)。 也就是说，如果G是一棵树，那么 \(\forall u,v \in G,\forall k,p(u,k) \iff p(k,u)\)。 B：一个无向图的DFS树中，对于 阅读全文

摘要： 基环树DP 一些基本概念： 在一棵树上加一条边，就会构成一个环，环上会挂着一些子树。 基环树是只有一个环的仙人掌。 如果基环树的边是有向边，环上的点是p1, p2, p3, ... 则环上的边是p1->p2, p2->p3, ..., pn->p1 或者全部反过来 总之就是环上的边要么全部逆时针要么 阅读全文

摘要： (b,c)=1，则(a,b)=(ac,b) 若d是a和b的公约数，则d也是ac和b的公约数。 若d是ac和b的公约数，d|b，d|ac。 假设(c,d)=d0>1，d0|d，d0|b=kd，d0|c，(b,c)=d0>1，矛盾。 所以(c,d)=1 所以c|a。 所以d也是a和b的公约数。 左右集合 阅读全文

摘要： 欧几里得算法证明： \[(a,b)=(b,a\bmod b) \]设 \(S1\) 为 \(a,b\) 的所有公约数的集合，\(S2\) 为 \(b,a \bmod b\)的所有公约数的集合 如果 \(\frac{a}{b}\) 为正数，\(a \bmod b =a-b \lfloor \frac{ 阅读全文

摘要： 先来定义一下取模（b不等于0）。 \(r(a, b) = a - b \times \lfloor \frac{a}{b} \rfloor = t\) 下面讨论一下t的取值范围。 b>0 \(k=\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\)，则 \(r(a,b)=a-kb\)。 因为 阅读全文

摘要： 一直都在写dij，证明一下正确性。 **下面的证明在有向图中。** 首先，对于一个点u，假设它的某一条最短路径中，从源点出发，一直到u，将沿路的节点记录下来，u的前一个节点是x（可以认为是u的前驱x）。 那么一定有`dist[u]=dist[x]+w[x,u]`。 因为一定是从源点走到x，再从x走到 阅读全文

摘要： 二分图有关的都放在这里。 A：图G是二分图 B：图G中不存在奇数环 C：图G可以进行染色 注：染色法：对于每一条边 $(u, v)$，u和v应染成不同的颜色（放入两个点集），遍历每一条边看下是否有矛盾即可（具体来说，从1个点出发dfs，如果两个点中有一个未染色，就染成符合条件的颜色，否则检查是否为不 阅读全文