关于取模、进制的问题

先来定义一下取模（b不等于0）。

\(r(a, b) = a - b \times \lfloor \frac{a}{b} \rfloor = t\)

下面讨论一下t的取值范围。

1. b>0

\(k=\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\)，则 \(r(a,b)=a-kb\)。

因为 \(k \le \frac{a}{b} < k+1\)，\(a-b\times \frac{a}{b}=0\)。

配凑一下，就是 \(a-bk-b<a-b\times \frac{a}{b}=0\le a-bk\)

\(a-bk=r(a,b)\ge 0, a-bk=r(a,b)<b\)，所以 \(0 \le r(a,b) < b\)。

2. b<0，同理 \(b<r(a,b)\le 0\)。

接着我们尝试让情况二变成情况一的范围。

直觉告诉我们，不等式加上-b就可以了。

\(a=kb+r=r-b+b+kb=(k+1)b+(r-b)\)

此时 \(0<r(a,b)\le -b\)，这个等号很烦，干脆当\(r(a,b)=0\)时不变化，这样就ok了。

于是，r的取值范围就统一为了 \(0 \le r < |b|\)

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另外C++里面商是负数的时候会向上取整，用类似的方法可以证明此时的余数是 \(-b<r\le 0(b>0),0\le r < -b(b<0)\)，所以(r+mod)%mod，最后%mod就是防止\(r=0\)的情况，此时应该不修改r，刚好%mod可以做到这一点。

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进制分解可以看成一个递归的过程

k进制

div(x)=k*div([x/k])+r(x,k)

[x/k]和上述证明一样，如果k是负数，就+1。

画成递归树会发现这样子构造的方案刚好满足进制的定义（\(k^n...\)）。

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例题：P1017 [NOIP2000 提高组] 进制转换

https://oi.wiki/math/balanced-ternary/

这个转换成平衡三进制的方法也是和负数取模转成正余数的方法类似，通过配凑转换。

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a>0, b>0 [0, b)

a>0, b<0 [0, -b)

a<0, b>0 (b, 0]

a<0, b<0 (-b, 0]

后面两个可以统一成 (a % b + abs(b)) % abs(b)，这样就可以得到a=kb+r(0<=r<|b|)的r了。