组合数学 - 基本二项恒等式 Basic Binomial Identities

在组合意义中，\(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) 代表从具有 \(r\) 个元素的集合中选取 \(k\) 个元素作为子集的方法数，其计算公式为

\[\begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix} = \begin{align*} \left\{ \begin{matrix} \frac{r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k(k-1)\cdots (1)} = \frac{r!}{k!(r-k)!} = \frac{r^{\underline{k}}}{k!}, &k \geq 0, k \in Z, \\ 0, &k < 0, k \in Z. \end{matrix} \right. \end{align*} \]

对称恒等式

\[\begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(n-(n-k))!(n-k)!} = \begin{pmatrix} r \\ n-k \end{pmatrix}, n,k \in Z, n \geq 0. \]

吸收恒等式

\[\begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix} = \frac{r}{k} \begin{pmatrix} r-1 \\ k-1 \end{pmatrix}, k \in Z. \]

相伴恒等式

\[(r-k)\begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} r-1 \\ k \end{pmatrix}. \]

加法公式

\[\begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r-1 \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r-1 \\ k-1 \end{pmatrix}, k \in Z. \]

上指标求和

\[\sum_{0 \leq k \leq n} \begin{pmatrix} k \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} + \cdots + \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ m+1 \end{pmatrix}, m,n \in Z, m,n \geq 0. \]

上指标反转

\[\begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix} = (-1)^k \begin{pmatrix} k-r-1 \\ k \end{pmatrix}, k \in Z. \]

平行求和

\[\sum_{k \leq n} \begin{pmatrix} r+k \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r+n+1 \\ k \end{pmatrix}, n \in Z. \]

二项式定理

\[(x+y)^r = \sum_k \begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix} x^k y^{r-k}. \]

多项式系数

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} a_1+a_2+\cdots+a_m \\ a_1,a_2,\cdots,a_m \end{pmatrix} &= \frac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{a_1!a_2! \cdots a_m!} \\ &= \begin{pmatrix} a_1+a_2+\cdots+a_m \\ a_2+\cdots+a_m \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} a_{m-1}+a_m \\ a_m \end{pmatrix}. \end{align*} \]

范德蒙德卷积

\[\sum_k \begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s \\ n-k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r+s \\ n \end{pmatrix}, n \in Z. \]