组合数学 - Gosper 算法 Gosper Algorithm

Gosper 算法适用于求和项是超几何项的求和，其一般分为两个步骤。

第一步是将项的比值表示成一个特殊的形式

\[\frac{t(k+1)}{t(k)} = \frac{p(k+1)}{p(k)}\frac{q(k)}{r(k+1)}. \]

其中 \(p,q,r\) 是满足以下条件的多项式

\[(k+\alpha) | q(k) \and (k+\beta) | r(k) \Rightarrow \alpha - \beta \notin Z_+. \]

可以暂时从 \(p(k)=1\) 出发，并令 \(q(k)\) 和 \(r(k)\) 是将它们分解成线性因子后，项的比值的分子和分母。如果 \(q\) 和 \(r\) 有因子 \((k+\alpha)\) 和 \((k+\beta)\)，其中 \(\alpha-\beta=N>0\)，则将其从 \(q\) 和 \(r\) 中去除，并用 \(p(k)(k+\alpha-1)^{\underline{N-1}}\) 代替 \(p(k)\)。重复这个过程直至上式成立。

第二步是求一个超几何项 \(T(k)\) 使得 \(t(k)=T(k+1)-T(k)\)。这一过程并不明显。首先将 \(T(k)\) 写成未知形式

\[T(k) = \frac{r(k)s(k)t(k)}{p(k)}. \]

其中 \(s(k)\) 就是一个未知的函数，其满足关系

\[p(k) = q(k)s(k+1)-r(k)s(k). \]

当 \(p(k),q(k),r(k)\) 是给定的多项式时，则我们就需要求出多项式 \(s(k)\) 或证明其不存在。当 \(s(k)\) 有特定的次数 \(d\) 时，其可以表示为

\[s(k)=\alpha_{d}k^{d} + \alpha_{d-1}k^{d-1} + \cdots + \alpha_0, \alpha_d \neq 0. \]

那么我们如何确定 \(s(k)\) 的次数 \(d\) 呢？其至多存在两种可能性。我们令 \(Q(k)=q(k)-r(k), R(k)=q(k)+r(k)\)，\(\lambda\) 为 \(R(k)\) 的最高项系数，\(\lambda'\) 为 \(Q(k)\) 的 \(\mathrm{deg}(R) - 1\) 项系数，则

• 如果 \(\mathrm{deg}(Q) \geq \mathrm{deg}(R)\)，那么 \(d=\mathrm{deg}(p) - \mathrm{deg}(Q)\)；
• 如果 \(\mathrm{deg}(Q) < \mathrm{deg}(R)\)，那么 \(d = \mathrm{deg}(p) - \mathrm{deg}(R) + 1\) 或 \(d=\frac{-2\lambda'}{\lambda}\)，仅当后者是大于前者的整数时才考虑后者。

至此我们求出了多项式 \(s(k)\)，进而求得了 \(T(k)\) 的表达式，因此

\[\sum_{k=0}^n t_k = \sum_{k=0}^n (T(k+1) - T(k)) = T(n+1) - T(0). \]

例 1：计算 \(\sum \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k \delta k\)。

令 \(t(k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k = \frac{n!(-1)^k}{k!(n-k)!}\)，我们将相邻项的比值表示为要求的形式，即

\[\frac{t(k+1)}{t(k)} = \frac{k-n}{k+1} = \frac{p(k+1)}{p(k)}\frac{q(k)}{r(k+1)}. \]

这里我们直接取 \(p(k)=1,q(k)=k-n,r(k)=k\)，这种选取要求满足条件。

现在考虑 \(Q(k)=-n,R(k)=2k-n\)，由于 \(\mathrm{deg}(Q) < \mathrm{deg}(R)\)，要么 \(d = \mathrm{deg}(p) - \mathrm{deg}(R) + 1 = 0\)，要么 \(d=\frac{-2\lambda'}{\lambda} = n\)，我们先考虑前者。假设 \(d = 0\)，则 \(s(k)=\alpha_0\)，代入 \(p(k)\) 的表达式有

\[1=(k-n)\alpha_0 - k\alpha_0. \]

解得 \(\alpha_0 = -\frac{1}{n}\)，则 \(T(k) = \frac{r(k)s(k)t(k)}{p(k)} = k(-\frac{1}{n})\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k = \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix} (-1)^{k-1}\) 。

如果我们计算求和 \(\sum_k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k \delta k = T(n+1)-T(1)=0\)，与使用二项式定理得出的结论一致。

例 2：计算 \(\sum \frac{\delta k}{k^3 - k}\)。

令 \(t_k = \frac{1}{k^3-k}\)，则

\[\frac{t_{k+1}}{t_k} = \frac{k^3-k}{(k+1)^3 - (k+1)} = \frac{k-1}{k+2} = \frac{p(k+1)q(k)}{p(k)r(k+1)}. \]

如果 \(p(k) = 1, q(k) = k - 1, r(k) = k + 1\)，其满足条件。考虑

\[\begin{align*} Q(k) &= q(k) - r(k) = -2, \\ R(k) &= q(k) + r(k) = 2k. \end{align*} \]

有 \(d = \mathrm{deg}(p) - \mathrm{deg}(R) + 1 = 0 \Rightarrow s(k) = \alpha_0\)。由 \(p(k) = q(k)s(k+1) - r(k)s(k)\) 解得 \(\alpha_0 = -\frac{1}{2}\)。则

\[\begin{align*} T(k) = \frac{r(k)s(k)t(k)}{p(k)} = -\frac{1}{2k(k-1)}. \end{align*} \]

因此

\[\sum \frac{\delta k}{k^3 - k} = -\frac{1}{2k(k-1)} + C. \]