具体数学 - 模运算 Mod

当 \(m,n\) 是正整数时，\(n\) 被 \(m\) 除的商是 \(\lfloor n/m \rfloor\)，余数记为 \(n \bmod m\)，称作 \(n\) 对 \(m\) 取模。取模运算可以扩展到实数域，\(x \bmod y\) 的物理意义是，当 \(x\) 和 \(y\) 是正实数时，想象一个周长为 \(y\) 的圆，它的点被赋予区间 \([0..y)\) 中的实数．如果我们从 \(0\) 出发，绕着圆行走距离 \(x\) ，我们就停止在 \(x \bmod y\) 的位置。

\[x \bmod y = x - y \lfloor x/y \rfloor, y \neq 0. \]

以下是取模运算的一些性质。

\[x \bmod 0 = x; \\ x = \lfloor x \rfloor + x \bmod 1; \\ c(x \bmod y) = (cx) \bmod (cy);\\ (x+y) \bmod p = (x \bmod p + y \bmod p) \bmod p \]

现在我们考虑一个问题，如何将 \(n\) 件物品平均分配给 \(m\) 个人？

很容易想到，前 \(n \bmod m\) 个人分配 \(\lceil n/m \rceil\) 件物品，剩下的人分配 \(\lfloor n/m \rfloor\) 件物品。使用统一的方法表示每个人分配到的物品数量就是

\[\lceil \frac{n-k+1}{m} \rceil, 1 \leq k \leq m. \]

假设 \(n=qm+r, 0 \leq r < m\)，那么

\[\lceil \frac{n-k+1}{m} \rceil = \lceil \frac{qm+r-k+1}{m} \rceil = q+\lceil \frac{r-k+1}{m} \rceil. \]

当 \(1 \leq k \leq r\) 时，\(\lceil \frac{r-k+1}{m} \rceil=1\)；当 \(r < k \leq m\) 时，\(\lceil \frac{r-k+1}{m} \rceil=0\)。因此

\[n = \lceil \frac{n}{m} \rceil + \lceil \frac{n+1}{m} \rceil + \cdots + \lceil \frac{n+m-1}{m} \rceil. \]

由 \(n= \lfloor \frac{n}{2} \rfloor + \lceil \frac{n}{2} \rceil\) 可以将上式转换为

\[n = \lfloor \frac{n}{m} \rfloor + \lfloor \frac{n+1}{m} \rfloor + \cdots + \lfloor \frac{n+m-1}{m} \rfloor. \]

令 \(n= \lfloor mx \rfloor\)，则有

\[\lfloor mx \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor x+\frac{1}{m} \rfloor + \cdots + \lfloor x + \frac{m-1}{m} \rfloor. \]