具体数学 - 底和顶的递归式 Floor and Ceiling Recurrence

我们将约瑟夫问题推广到一般情况，如果有 \(n\) 个人，每隔 \(q\) 个人就淘汰一个人，那么最后幸存者的号码是多少？

我们采用新的编号方式，第一个人不会被淘汰，则编号变为 \(n+1\)；第二个人不会被淘汰，则编号变为 \(n+2\)；直至第 \(q\) 个人被淘汰。第 \(q+1\) 个人重新编号为 \(n+q\)，如此循环。假设已经淘汰了 \(k\)个人，则当前淘汰的人编号为 \(kq\)，接下来的人编号为 \(n+k(q-1)+1\)。

以 \(n=10,q=3\) 为例，下面是编号更新的过程。

iter/num	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	11	12		13	14		15	16		17
2	18			19	20			21		22
3				23	24					25
4				26						27
5				28
6				29
7				30

到最后可以发现幸存者的编号为 \(qn\)，如果我们能找出 \(qn\) 原来的编号，我们就能找出幸存者。从上述过程我们发现，编号为 \(kq+d\) 的人下一轮的编号为 \(n+k(q-1)+d\)，其中 \(1 \leq d \leq q\)。令 \(N=n+k(q-1)+d\)，则编号为 \(N\) 的人上一轮的编号为 \(kq+d=kq+N-n-k(q-1)=k+N-n\)。又因为 \(k=\frac{N-n-d}{q-1}=\lfloor \frac{N-n-1}{q-1} \rfloor\)，则上一轮的编号可以表示为 \(\lfloor \frac{N-n-1}{q-1} \rfloor + N - n\)。使用 \(D=qn+1-N\) 代入原式，可以得到简明的递归式

\[\begin{align*} D&= qn+1-N \\ &= qn+1-(\lfloor \frac{N-n-1}{q-1} \rfloor + N - n) \\ &= qn+1-(\lfloor \frac{(qn+1-D)-n-1}{q-1} \rfloor+(qn+1-D)-n) \\ &= n+D- \lfloor \frac{(q-1)n-D}{q-1} \rfloor \\ &= D- \lfloor -\frac{D}{q-1} \rfloor \\ &= D+ \lceil \frac{D}{q-1} \rceil \\ &= \lceil \frac{q}{q-1}D \rceil. \end{align*} \]

算法对应的伪代码如下

D = 1
while D <= (q-1)n:
	D = ceil(Dq/(q-1))
res = qn + 1 - D