组合数学 - Zeilberger 算法 Zeilberger Algorithm

Zeilberger 算法推广了 Gosper 算法，可以机械化地处理所有对 \(k\) 求和的和式。其基本思想是，将要求和的项视为两个变量 \(n\) 和 \(k\) 的一个函数 \(t(n,k)\)。Zeilberger 算法可以总结为四个步骤

0. 置 \(l:=0\)。

1. 令 \(\hat{t} = \beta_0(n) t(n,k) + \cdots + \beta_l(n) t(n+l,k)\)，其中 \(\beta_0(n),\dots,\beta_l(n)\) 都是未知的函数。利用 \(t(n,k)\) 的性质寻求 \(\beta_0(n),\dots,\beta_l(n)\) 的线性组合 \(p(n,k)\)，其系数是关于 \(n\) 和 \(k\) 的多项式，使得 \(\hat{t}(n,k)\) 可以写成形式 \(p(n,k)\bar{t}(n,k)\)，其中 \(\bar{t}(n,k)\) 就是关于 \(k\) 的超几何项。求多项式 \(\bar{p}(n,k),q(n,k),r(n,k)\) 使得 \(\bar{t}(n,k)\) 的项的比值形如 \(\frac{\bar{t}(n,k+1)}{\bar{t}(n,k)} = \frac{\bar{p}(n,k+1)}{\bar{p}(n,k)} \frac{q(n,k)}{r(n,k+1)}\)，其中 \(q(n,k),r(n,k)\) 满足 Gosper 条件。置 \(\hat{p}(n,k)=p(n,k)\bar{p}(n,k)\)。

2. 置 \(\mathrm{deg}(Q)=\mathrm{deg}(q-r), \mathrm{deg}(R)=\mathrm{deg}(q+r)\)，以及 \(d:=\left\{\begin{array}{l} \mathrm{deg}(\hat{p})-\mathrm{deg}(Q), \quad \mathrm{deg}(Q) \geq \mathrm{deg}(R) \\ \mathrm{deg}(\hat{p})-\mathrm{deg}(R)+1, \quad \mathrm{deg}(Q) < \mathrm{deg}(R) \end{array}\right.\)。如果 \(d \geq 0\)，定义 \(s(k)=\alpha_{d}k^{d} + \alpha_{d-1}k^{d-1} + \cdots + \alpha_0, \alpha_d \neq 0\)，在方程 \(\hat{p}(n,k) = q(n,k)s(n,k+1)-r(n,k)s(n,k)\) 中令 \(k\) 的幂次相等，可以得到关于 \(\alpha_0,\dots,\alpha_d,\beta_0,\dots,\beta_l\) 的线性方程组。如果这些方程有一个使得 \(\beta_0,\dots,\beta_l\) 不全为零的解，则跳转到第 4 步。如若不然，当 \(\mathrm{deg}(Q) < \mathrm{deg}(R)\) 且 \(\frac{-2\lambda'}{\lambda}\) 是一个大于 \(d\) 的整数时（其中 \(\lambda\) 是 \(q+r\) 中 \(k^{\mathrm{deg}(R)-1}\) 的系数，而 \(\lambda’\) 是 \(q-r\) 中 \(k^{\mathrm{deg}(R)-1}\) 的系数），就置 \(d:=\frac{-2\lambda'}{\lambda}\) 并重复上述步骤。

3. （项 \(\hat{t}(n,k)\) 不是超几何可求和的。）将 \(l\) 增加 1 并退回第 1 步。

4. （成功。）置 \(T(n,k):=\frac{r(n,k)s(n,k)\bar{t}(n,k)}{\bar{p}(n,k)}\)。由该算法，就得到了 \(\hat{t}(n,k) = T(n,k+1) - T(n,k)\)。

例 1：计算 \(\sum \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} z^k\)。

令 \(t(n,k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} z^k\)，由于

\[\begin{align*} \frac{t(n+1, k)}{t(n, k)} & =\frac{(n+1)!z^{k}}{(n+1-k)!k!} \frac{(n-k)!k!}{n!z^{k}} \\ & =\frac{n+1}{n+1-k}. \end{align*} \]

我们有

\[\hat{t}(n,k) = p(n,k)\frac{t(n,k)}{n+1-k}. \]

其中

\[p(n,k) = (n+1-k)\beta_0(n) + (n+1)\beta_1(n). \]

令 \(\bar{t}(n,k)=\hat{t}(n,k)/p(n,k), \bar{p}(n,k)=\hat{p}(n,k)/p(n,k)\)，应用 Gosper 算法

\[\frac{\bar{t}(n,k+1)}{\bar{t}(n,k)} = \frac{(n+1-k)z}{k+1} = \frac{\bar{p}(n,k+1)}{\bar{p}(n,k)} \frac{q(n,k)}{r(n,k+1)}. \]

如果 \(\bar{p}(n,k)=1\)，则有 \(q(n,k) = (n+1-k)z, r(n,k) = k\)。由于 \(\mathrm{deg}(Q) = \mathrm{deg}(R) = 1\)，则有 \(d = \mathrm{deg}(\hat{p}) - \mathrm{deg}(Q) = 0\)，设 \(s(n,k)=\alpha_0(n)\)，则方程 \(\hat{p}(n,k)=q(n,k)s(n,k+1)-r(n,k)s(n,k)\) 变为

\[(n+1-k)\beta_0(n) + (n+1)\beta_1(n) = (n+1-k)z\alpha_0(n) - k\alpha_0(n). \]

令 \(k\) 的幂次相等，就得到不含 \(k\) 的方程组

\[\begin{align*} (n+1)\beta_0(n)+(n+1)\beta_1(n)-(n+1-k)z\alpha_0(n) &= 0, \\ -\beta_0(n) + (z+1)\alpha_0(n) &= 0. \end{align*} \]

因此有一个满足条件 \(\beta_0(n)=z+1, \beta_1(n)=-1, \alpha_0(n) = 1\) 的解。则

\[T(n,k) = \frac{r(n,k)s(n,k)\bar{t}(n,k)}{\bar{p}(n,k)} = \frac{k}{n+1-k}t(n,k) = \begin {pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} z^k. \]

例 2：找出 \(S(n) = \sum_k \begin{pmatrix} n \\ 2k \end{pmatrix}\) 的递归关系。

我们有

\[\frac{t(n+1,k)}{t(n,k)} = \frac{n+1}{n-2k+1}. \]

因此

\[\hat{t}(n,k)=p(n,k) \frac{t(n,k)}{n-2k+1}. \]

其中

\[p(n,k) = (n - 2k + 1)\beta_0(n) + (n+1)\beta_1(n). \]

令 \(\bar{t}(n,k) = \frac{\hat{t}(n,k)}{p(n,k)}, \bar{p}(n,k) = \frac{\hat{p}(n,k)}{p(n,k)}\)，考虑

\[\frac{\bar{t}(n,k+1)}{\bar{t}(n,k)} = \frac{\bar{p}(n,k+1)}{\bar{p}(n,k)} \frac{q(n,k)}{r(n,k+1)} = \frac{(n-2k)(n-2k+1)}{(2k+1)(2k+2)} \]

如果 \(\bar{p}(n,k) = 1\)，那么 \(q(n,k) = (n-2k)(n-2k+1), r(n,k) = 2k(2k-1) \Rightarrow d = \mathrm{deg}(\hat{p}) - \mathrm{deg}(R) + 1 = 0\)，设 \(s(n,k) = s\)，有 \(\beta_0(n) = 2ns, \beta_1(n) = -ns\)，因此

\[2ns \hat{t}(n,k) - ns \hat{t}(n+1,k) = 0 \Rightarrow 2S_n = S_{n+1}. \]