# 三角函数知识点

## 必须熟记

• 特殊角的三角函数值，是三角函数学习的基础，必须熟练掌握。
$$\theta(rad)$$ $$0$$$$=$$$$0^{\circ}$$ $$\cfrac{\pi}{12}$$$$=$$$$15^{\circ}$$ $$\cfrac{\pi}{6}$$$$=$$$$30^{\circ}$$ $$\cfrac{\pi}{4}$$$$=$$$$45^{\circ}$$ $$\cfrac{\pi}{3}$$$$=$$$$60^{\circ}$$ $$\cfrac{5\pi}{12}$$$$=$$$$75^{\circ}$$
$$sin\theta$$ $$0$$ $$\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$ $$\cfrac{1}{2}$$ $$\cfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$
$$cos\theta$$ $$1$$ $$\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$ $$\cfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cfrac{1}{2}$$ $$\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$
$$tan\theta$$ $$0$$ $$2-\sqrt{3}$$ $$\cfrac{\sqrt{3}}{3}$$ $$1$$ $$\sqrt{3}$$ $$2+\sqrt{3}$$

$$\theta(rad)$$ $$\cfrac{\pi}{2}=90^{\circ}$$ $$\cfrac{7\pi}{12}=105^{\circ}$$ $$\cfrac{2\pi}{3}=120^{\circ}$$ $$\cfrac{3\pi}{4}=135^{\circ}$$ $$\cfrac{5\pi}{6}=150^{\circ}$$ $$\pi=180^{\circ}$$
$$sin\theta$$ $$1$$ $$\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$ $$\cfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cfrac{1}{2}$$ $$0$$
$$cos\theta$$ $$0$$ $$-\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$ $$-\cfrac{1}{2}$$ $$-\cfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$-\cfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$-1$$
$$tan\theta$$ $$\infty$$ $$-(2+\sqrt{3})$$ $$-\sqrt{3}$$ $$-1$$ $$-\cfrac{\sqrt{3}}{3}$$ $$0$$

## 记忆方法

$$rad$$ $$0$$ $$\cfrac{\pi}{6}$$ $$\cfrac{\pi}{4}$$ $$\cfrac{\pi}{3}$$ $$\cfrac{\pi}{2}$$ $$\cfrac{2\pi}{3}$$ $$\cfrac{3\pi}{4}$$ $$\cfrac{5\pi}{6}$$ $$\pi$$
$$deg$$ $$0^{\circ}$$ $$30^{\circ}$$ $$45^{\circ}$$ $$60^{\circ}$$ $$90^{\circ}$$ $$120^{\circ}$$ $$135^{\circ}$$ $$150^{\circ}$$ $$180^{\circ}$$
$$sin\theta$$ $$0=\cfrac{\sqrt{0}}{2}$$ $$\cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{1}}{2}$$ $$\cfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$1=\cfrac{\sqrt{4}}{2}$$ $$\cfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cfrac{1}{2}$$ $$0$$
$$cos\theta$$ $$1=\cfrac{\sqrt{4}}{2}$$ $$\cfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{1}}{2}$$ $$0=\cfrac{\sqrt{0}}{2}$$ $$-\cfrac{1}{2}=-\cfrac{\sqrt{1}}{2}$$ $$-\cfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$-\cfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$-1=-\cfrac{\sqrt{4}}{2}$$
$$tan\theta$$ $$0$$ $$\cfrac{\sqrt{3}}{3}$$ $$1$$ $$\sqrt{3}$$ $$\infty$$ $$-\sqrt{3}$$ $$-1$$ $$-\cfrac{\sqrt{3}}{3}$$ $$0$$

## 常用结论

• 高频变形公式

$$2sin\theta cos\theta=sin2\theta$$$$2cos^2\theta-1=1-2sin^2\theta=cos2\theta$$

$$asin\theta+bcos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\left(\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sin\theta+\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cos\theta\right)$$

$$=\sqrt{a^2+b^2}(cos\phi\cdot sin\theta+sin\phi\cdot cos\theta)$$

$$=\sqrt{a^2+b^2}sin(\theta+\phi)\;\;(备注：tan\phi=\cfrac{b}{a})$$

• 再把$$\theta\Longrightarrow (2x+\cfrac{\pi}{3})$$试试看，考查整体思想。同角三角函数基本关系：$$sin^2(2\theta+\cfrac{\pi}{3})+cos^2(2\theta+\cfrac{\pi}{3})=1$$
• 常用的勾股数$$3n，4n，5n(n\in N^*)$$$$5，12，13$$$$7，24，25$$$$8，15，17$$$$9，40，41$$

• 需要我们烂熟于心的三角变形：

$$sin\theta\pm cos\theta=\sqrt{2}sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{4})$$$$\sqrt{2}sin\theta\pm \sqrt{2}cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{4})$$

$$\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin\theta\pm\cfrac{1}{2}cos\theta=sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{6})$$$$\cfrac{1}{2}sin\theta\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}cos\theta=sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{3})$$

$$\sqrt{3}sin\theta\pm cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{6})$$$$sin\theta\pm\sqrt{3}cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{3})$$

• $$\Delta ABC$$中，已知$$\angle A=\cfrac{\pi}{3}$$，求$$sinB+sinC=sinB+sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)$$$$sinB\cdot sinC=sinB\cdot sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)$$
• 三角函数的单调区间的演示
• 在锐角$$\Delta ABC$$中，$$sinA>cosB$$$$cosA<sinB$$

• $$\Delta ABC$$中，$A>B\Leftrightarrow sinA>sinB\Leftrightarrow a>b$(利用正弦定理和大角对大边可证明)

$$\Delta ABC$$中，$$A>B\Leftrightarrow cosA<cosB$$(利用余弦函数的单调性可证明)

• $$a^2+b^2>c^2$$”是“$$\triangle ABC$$是锐角$$\triangle$$”的必要不充分条件；

$$a^2+b^2<c^2$$”是“$$\triangle ABC$$是钝角$$\triangle$$”的充分不必要条件；

$$a^2+b^2=c^2$$”是“$$\triangle ABC$$$$Rt\triangle$$”的充分不必要条件；

• 求值：$$sin^21^{\circ}+sin^22^{\circ}+sin^23^{\circ}+\cdots+sin^288^{\circ}+sin^289^{\circ}=$$

$$cos^21^{\circ}+cos^22^{\circ}+cos^23^{\circ}+\cdots+cos^288^{\circ}+cos^289^{\circ}=44.5$$

$$(1+tan22^{\circ})(1+tan23^{\circ})=2$$

5、已知$$tan\alpha=\cfrac{1}{2}$$，求$$sin^4\alpha-cos^4\alpha$$的值。

【法1】：方程组法，由$$\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}}\\{sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\end{array}\right.$$

【法2】：齐次式法，$$sin^4\alpha-cos^4\alpha=(sin^2\alpha-cos^2\alpha)(sin^2\alpha+cos^2\alpha)=sin^2\alpha-cos^2\alpha$$

$$=-cos2\alpha=-\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=-\cfrac{3}{5}$$

【法3】：由$$\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}$$，引入比例因子，可设$$sin\alpha=k$$$$cos\alpha=2k(k\neq 0)$$

$$k^2+(2k)^2=1$$，可得$$k^2=\cfrac{1}{5}$$，故$$k^4=\cfrac{1}{25}$$

$$sin^4\alpha-cos^4\alpha=k^4-(2k)^4=-15k^4=-\cfrac{3}{5}$$

6、三角函数章节中的重要不等式：$$\theta\in (0，\cfrac{\pi}{2})$$时，$$sin\theta<\theta<tan\theta$$

【证法1】：三角函数线法，如图所示为单位圆，则$$sin\theta=MP$$$$tan\theta=AT$$$$\overset{\frown}{AP}=\theta\cdot 1=\theta$$

$$\cfrac{1}{2}\cdot |OA|\cdot MP<\cfrac{1}{2}\cdot \theta \cdot |OA|<\cfrac{1}{2}\cdot |OA|\cdot AT$$

$$\theta\in (0，\cfrac{\pi}{2})$$时，$$sin\theta<\theta<tan\theta$$

【证法2】：构造函数法，如令$$g(x)=sinx-x$$$$x\in (0，\cfrac{\pi}{2})$$

$$g'(x)=cosx-1\leq 0$$恒成立，故$$g(x)$$$$x\in (0，\cfrac{\pi}{2})$$上单调递减，

$$g(x)<g(0)=0$$，即$$sinx<x$$，同理可证$$x<tanx$$

$$\theta\in (0，\cfrac{\pi}{2})$$时，$$sin\theta<\theta<tan\theta$$

7、已知角$$\theta$$是第Ⅲ象限角，求$$\cfrac{\theta}{2}$$所在的象限。

【法1】：计算法，由于角$$\theta$$是第Ⅲ象限角，

$$2k\pi+\pi<\theta<2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}(k\in Z)$$

$$k\pi+\cfrac{\pi}{2}<\cfrac{\theta}{2}<k\pi+\cfrac{3\pi}{4}(k\in Z)$$，以下针对$$k$$分奇偶讨论：

①当$$k=2n，n\in Z$$时，$$2n\pi+\cfrac{\pi}{2}<\cfrac{\theta}{2}<2n\pi+\cfrac{3\pi}{4}(n\in Z)$$，故$$\cfrac{\theta}{2}$$是第Ⅱ象限的角；

②当$$k=2n+1，n\in Z$$时，$$2n\pi+\pi+\cfrac{\pi}{2}<\cfrac{\theta}{2}<2n\pi+\pi+\cfrac{3\pi}{4}(n\in Z)$$，故$$\cfrac{\theta}{2}$$是第Ⅳ象限的角；

【法2】：八卦图法，有人对上述解法图形化如下：先将每一个象限都二等分，然后每一个小部分都作以标记，如图所示，最后在图中寻找标号为$$3$$的部分，从而找到所在的象限。

8、三角函数中的齐次式

9、三角公式的扩展：

$$1+cos\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}$$$$1-cos\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}$$

$$1+sin\theta=(sin\cfrac{\theta}{2}+cos\cfrac{\theta}{2})^2$$$$1-sin\theta=(sin\cfrac{\theta}{2}-cos\cfrac{\theta}{2})^2$$

$$1+sin\theta+cos\theta=1+cos\theta+sin\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}=2cos\cfrac{\theta}{2}(cos\cfrac{\theta}{2}+sin\cfrac{\theta}{2})$$

$$1+sin\theta-cos\theta=1-cos\theta+sin\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}=2sin\cfrac{\theta}{2}(cos\cfrac{\theta}{2}+sin\cfrac{\theta}{2})$$

$$1-sin\theta+cos\theta=1+cos\theta-sin\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}-2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}=2cos\cfrac{\theta}{2}(cos\cfrac{\theta}{2}-sin\cfrac{\theta}{2})$$

$$1-sin\theta-cos\theta=1-cos\theta-sin\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}-2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}=2sin\cfrac{\theta}{2}(sin\cfrac{\theta}{2}-cos\cfrac{\theta}{2})$$

$$\Delta ABC$$中，$$sin(A+B)=sinC$$$$cos(A+B)=-cosC$$$$tan(A+B)=-tanC$$

$$sin\cfrac{A+B}{2}=cos\cfrac{C}{2}$$$$cos\cfrac{A+B}{2}=sin\cfrac{C}{2}$$

10、平方关系的应用

$$sin\alpha+cos\alpha$$$$sin\alpha-cos\alpha$$$$sin\alpha\cdot cos\alpha$$，知一求二意味着知道其中的一个，就能表达另外的两个式子；方程思想；

$$sinx+cosx=t$$，则$$t=\sqrt{2}sin(x+\cfrac{\pi}{4})$$，则$$t\in [-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$$

$$sinx+cosx=t$$两边平方，整理得到$$sinx\cdot cosx=\cfrac{t^2-1}{2}$$

posted @ 2018-08-07 07:54  静雅斋数学  阅读(2050)  评论(0编辑  收藏  举报

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